Какие дифференциальные уравнения в частных?

Какие дифференциальные уравнения в частных?

Начнем с указанием наш объект исследования. Дифференциальное уравнение является уравнением, связывающим производные (скалярной) функции, зависящей от одной или нескольких переменных. Например,

является дифференциальным уравнением для функции и (х) в зависимости от одной переменной х, в то время как

является дифференциальным уравнением с участием функции и (т, х, у) от трех переменных.

Есть два распространенных обозначений для частных производных, и мы будем использовать их как синонимы. Первое, используемые в (1,1, 2), знакомые обозначения Лейбница, который использует обычный D для обозначения обычных производных функций одной переменной, и д символ (как правило, также произносится как «ди») для частных производных функции более чем одной переменной. Альтернативные, более компактные обозначения использовать индексы для обозначения частных производных. Например, ут представляет ди / д, а ихх представляет д2и/дх2, и д3и/дх2ду становится uxxy. Таким образом, в обозначении индекс, уравнения в частных производных (1,2) станет

Щ ~ ихх - Uyy + и = 0. (1.3)

Мы так же сокращать дифференциальных операторов, иногда пишет д / дх, как DX, в то время как д2/дх ~ можно записать в виде либо D] или DXX, и д2/дх2ду становится dxxy =

д2х ду.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если функция зависит только от одной переменной, и частичное, если оно зависит от более чем одной переменной. Обычно (но не совсем всегда) зависимость функции и могут быть выведены из производных, которые появляются в дифференциальное уравнение. Порядок дифференциального уравнения высшего порядка производной, входящих в уравнение. Таким образом, (1,1) является четвертого порядка обыкновенных дифференциальных уравнений, а (1.2) второго порядка уравнение в частных производных.

Примечание: дифференциальное уравнение имеет порядок 0, если производные функции на самом деле появится. Такие уравнения более правильно рассматривать как алгебраические уравнения, и не так дифференциальных уравнений. В то время как алгебраические уравнения представляют большой интерес в их

сам по себе, они не являются предметом данного текста. Дифференциальное уравнение обязательно имеет порядок> 1.

Стоит отметить, что преобладание дифференциальных уравнений, возникающих в приложениях, в науке, в технике, и в пределах самой математики, являются либо первого или второго порядка, причем последняя на сегодняшний день является наиболее распространенным. Уравнений третьего порядка возникают при моделировании волн в диспергирующих средах, например, волны на воде или плазменных волн. Уравнений четвертого порядка появляются в теории упругости, в частности, плиты и балки механики. Уравнения порядка> 5 являются чрезвычайно редкими и нуждаются в нас не касается.

Основной предпосылкой для изучения этого текста является умение решать простые обыкновенных дифференциальных уравнений: уравнений первого порядка, линейные уравнения постоянным коэффициентом, как однородных, так и неоднородных и линейных систем. Кроме того, будем считать, некоторое знакомство с основной теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши, рассмотренных, например, в [17, 23, 40].

Уравнений в частных производных значительно труднее, и бросить вызов аналитических навыков, даже самый опытный математик. Многие из наиболее эффективных стратегий решения опираются на снижение уравнения в частных производных одного или более обыкновенных дифференциальных уравнений. И в ходе нашего исследования уравнений в частных производных, мы должны будем развивать некоторые из более продвинутых аспектов теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числе краевых задач, задач на собственные значения, ряд решений, особых точек, а специальные функции.

После вступительных замечаний в настоящей главе, экспозиция начинается по-настоящему простой уравнений первого порядка, концентрируясь на тех, которые возникают в качестве модели волновых явлений. Большая часть остальной текст будет посвящена пониманию и решению трех основных линейных, второго порядка уравнений в частных производных одного, двух и трех измерениях пространства: уравнение теплопроводности, моделирования термодинамики в сплошной среде, а также распространение загрязняющих веществ и групп населения; волновое уравнение, моделирование колебаний бары, струнные, плит и твердых тел, а также акустические, жидкости и электромагнитные колебания, и уравнение Лапласа и его коллега неоднородное, уравнение Пуассона, регулирующие механические и термические равновесия органов, а также жидкости механических и электромагнитных потенциалов.

Каждое увеличение размерности требует увеличения математической сложности, а также разработка дополнительных аналитических инструментов - хотя основные идеи, будет иметь все появилось, как только мы достигнем нашей физической, трехмерной вселенной. Три главных ролях примеров - тепло, волны и Laplace/Poisson- важны не только для

Широкий спектр применения, но и служат поучительным парадигмы для трех основных классов линейных дифференциальных уравнений. Некоторые интересные нелинейные уравнения в частных производных - первого порядка уравнения переноса волн моделирование ударно, второй Бюргерса порядке "уравнение моделирования нелинейной диффузии и третьего порядка Кортевега-де Фриза волны моделирование дисперсионных, также будет обсуждаться. Но, в таком вводный текст, остальная часть огромной области нелинейных дифференциальных уравнений в частных должно оставаться неизведанное, и место для будущего, более сложные математические экскурсии.

В целом, система дифференциальных уравнений представляет собой набор из одного или нескольких уравнений, связывающих производные от одного или нескольких функций. Очень важно, что все функции, происходящих в системе зависят от тех же набор переменных. Символы для этих функций называется зависимой переменной, а переменные, которые зависят от называются независимыми переменными. Системы дифференциальных уравнений, называются обычными или частичной в зависимости от количества независимых переменных. Порядок системы является старшей производной, происходящие в любом из его уравнений.

Например, трехмерные уравнения Навье-Стокса

это система второго порядка дифференциальных уравнений, которая включает в себя четыре функции U (T, X, Y, Z), V (T, X, Y, Z), W (T, х, у, г), Р (Т, ху Y, Z), каждый в зависимости от четырех переменных. (Функция р обязательно зависит от т, хотя не производную по времени она появляется в системе.) С другой стороны, у> 0 постоянная параметров. Независимых переменных т, представляющий время, а х, у, z, представляющие координаты в пространстве. Зависимых переменных W, V, W, с. Навье-Стокса являются наиболее фундаментальных уравнений механики жидкости, в которой V = (U, V, W) представляет собой поле вектора скорости несжимаемой жидкости, а р представляет сопровождающих давления. Параметр V представляет вязкость жидкости. Навье-Стокса, как известно, трудно решить. Действительно, установления наличия или отсутствия глобальных решений является одним из основных нерешенная проблема в математике, разрешение которого вы будете зарабатывать $ 1,000,000 приз, см. http://www.с 1 aymath.org для деталей.

Мы будем применением нескольких основных обозначений в отношении переменных, которые появляются в нашем дифференциальных уравнений. Мы всегда используем т для обозначения времени, а X, Y, Z будет представлять (декартовы) координаты в пространстве. Полярные координаты г, в цилиндрических координатах г, в, г, и сферических координатах г, 6 \ ф, также будет использоваться в случае необходимости, и наши условных обозначений, появляются в соответствующих местах в экспозиции.

Уравнение равновесия моделирует неизменные физические системы, и поэтому только включает в себя пространство переменных. Т переменной времени появляется при моделировании динамических, то есть изменяющиеся во времени процессы. Оба времени и пространстве координат являются независимыми переменными. Функции или зависимых переменных, входящих в дифференциальное уравнение или система будет главным образом обозначается U, V, W, хотя иногда - особенно, когда представляющих особый физических величин - другие буквы могут быть использованы, например, давление р в (1.4).

В этом вводный текст, у нас будет работа вырезал для нас анализ нескольких избранных из важных уравнений в частных производных, и так почти не повод, чтобы обсудить еще более сложная ситуация систем уравнений в частных производных, анализ которых должно быть отложено для более продвинутых текста, например, [45, 52, 73]. Действительно, многие фундаментальные вопросы остаются нерешенными и / или плохо изучены. Одной из целей этих заметок, чтобы вдохновить и вооружить вас для углубляясь гораздо дальше в этой увлекательной, важной, и очень активные области современного математического исследования, которое имеет поистине феноменальным спектр применений в науке, технике, экономике, и в других местах.

%»