Студопедия — Какие дифференциальные уравнения в частных?
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Какие дифференциальные уравнения в частных?

Какие дифференциальные уравнения в частных?

Начнем с указанием наш объект исследования. Дифференциальное уравнение является уравнением, связывающим производные (скалярной) функции, зависящей от одной или нескольких переменных. Например,

является дифференциальным уравнением для функции и (х) в зависимости от одной переменной х, в то время как

является дифференциальным уравнением с участием функции и (т, х, у) от трех переменных.

Есть два распространенных обозначений для частных производных, и мы будем использовать их как синонимы. Первое, используемые в (1,1, 2), знакомые обозначения Лейбница, который использует обычный D для обозначения обычных производных функций одной переменной, и д символ (как правило, также произносится как «ди») для частных производных функции более чем одной переменной. Альтернативные, более компактные обозначения использовать индексы для обозначения частных производных. Например, ут представляет ди / д, а ихх представляет д2и/дх2, и д3и/дх2ду становится uxxy. Таким образом, в обозначении индекс, уравнения в частных производных (1,2) станет

Щ ~ ихх - Uyy + и = 0. (1.3)

Мы так же сокращать дифференциальных операторов, иногда пишет д / дх, как DX, в то время как д2/дх ~ можно записать в виде либо D] или DXX, и д2/дх2ду становится dxxy =

д2х ду.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если функция зависит только от одной переменной, и частичное, если оно зависит от более чем одной переменной. Обычно (но не совсем всегда) зависимость функции и могут быть выведены из производных, которые появляются в дифференциальное уравнение. Порядок дифференциального уравнения высшего порядка производной, входящих в уравнение. Таким образом, (1,1) является четвертого порядка обыкновенных дифференциальных уравнений, а (1.2) второго порядка уравнение в частных производных.

Примечание: дифференциальное уравнение имеет порядок 0, если производные функции на самом деле появится. Такие уравнения более правильно рассматривать как алгебраические уравнения, и не так дифференциальных уравнений. В то время как алгебраические уравнения представляют большой интерес в их

сам по себе, они не являются предметом данного текста. Дифференциальное уравнение обязательно имеет порядок> 1.

Стоит отметить, что преобладание дифференциальных уравнений, возникающих в приложениях, в науке, в технике, и в пределах самой математики, являются либо первого или второго порядка, причем последняя на сегодняшний день является наиболее распространенным. Уравнений третьего порядка возникают при моделировании волн в диспергирующих средах, например, волны на воде или плазменных волн. Уравнений четвертого порядка появляются в теории упругости, в частности, плиты и балки механики. Уравнения порядка> 5 являются чрезвычайно редкими и нуждаются в нас не касается.

Основной предпосылкой для изучения этого текста является умение решать простые обыкновенных дифференциальных уравнений: уравнений первого порядка, линейные уравнения постоянным коэффициентом, как однородных, так и неоднородных и линейных систем. Кроме того, будем считать, некоторое знакомство с основной теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши, рассмотренных, например, в [17, 23, 40].

Уравнений в частных производных значительно труднее, и бросить вызов аналитических навыков, даже самый опытный математик. Многие из наиболее эффективных стратегий решения опираются на снижение уравнения в частных производных одного или более обыкновенных дифференциальных уравнений. И в ходе нашего исследования уравнений в частных производных, мы должны будем развивать некоторые из более продвинутых аспектов теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числе краевых задач, задач на собственные значения, ряд решений, особых точек, а специальные функции.

После вступительных замечаний в настоящей главе, экспозиция начинается по-настоящему простой уравнений первого порядка, концентрируясь на тех, которые возникают в качестве модели волновых явлений. Большая часть остальной текст будет посвящена пониманию и решению трех основных линейных, второго порядка уравнений в частных производных одного, двух и трех измерениях пространства: уравнение теплопроводности, моделирования термодинамики в сплошной среде, а также распространение загрязняющих веществ и групп населения; волновое уравнение, моделирование колебаний бары, струнные, плит и твердых тел, а также акустические, жидкости и электромагнитные колебания, и уравнение Лапласа и его коллега неоднородное, уравнение Пуассона, регулирующие механические и термические равновесия органов, а также жидкости механических и электромагнитных потенциалов.

Каждое увеличение размерности требует увеличения математической сложности, а также разработка дополнительных аналитических инструментов - хотя основные идеи, будет иметь все появилось, как только мы достигнем нашей физической, трехмерной вселенной. Три главных ролях примеров - тепло, волны и Laplace/Poisson- важны не только для

Широкий спектр применения, но и служат поучительным парадигмы для трех основных классов линейных дифференциальных уравнений. Некоторые интересные нелинейные уравнения в частных производных - первого порядка уравнения переноса волн моделирование ударно, второй Бюргерса порядке "уравнение моделирования нелинейной диффузии и третьего порядка Кортевега-де Фриза волны моделирование дисперсионных, также будет обсуждаться. Но, в таком вводный текст, остальная часть огромной области нелинейных дифференциальных уравнений в частных должно оставаться неизведанное, и место для будущего, более сложные математические экскурсии.

В целом, система дифференциальных уравнений представляет собой набор из одного или нескольких уравнений, связывающих производные от одного или нескольких функций. Очень важно, что все функции, происходящих в системе зависят от тех же набор переменных. Символы для этих функций называется зависимой переменной, а переменные, которые зависят от называются независимыми переменными. Системы дифференциальных уравнений, называются обычными или частичной в зависимости от количества независимых переменных. Порядок системы является старшей производной, происходящие в любом из его уравнений.

Например, трехмерные уравнения Навье-Стокса

это система второго порядка дифференциальных уравнений, которая включает в себя четыре функции U (T, X, Y, Z), V (T, X, Y, Z), W (T, х, у, г), Р (Т, ху Y, Z), каждый в зависимости от четырех переменных. (Функция р обязательно зависит от т, хотя не производную по времени она появляется в системе.) С другой стороны, у> 0 постоянная параметров. Независимых переменных т, представляющий время, а х, у, z, представляющие координаты в пространстве. Зависимых переменных W, V, W, с. Навье-Стокса являются наиболее фундаментальных уравнений механики жидкости, в которой V = (U, V, W) представляет собой поле вектора скорости несжимаемой жидкости, а р представляет сопровождающих давления. Параметр V представляет вязкость жидкости. Навье-Стокса, как известно, трудно решить. Действительно, установления наличия или отсутствия глобальных решений является одним из основных нерешенная проблема в математике, разрешение которого вы будете зарабатывать $ 1,000,000 приз, см. http://www.с 1 aymath.org для деталей.

Мы будем применением нескольких основных обозначений в отношении переменных, которые появляются в нашем дифференциальных уравнений. Мы всегда используем т для обозначения времени, а X, Y, Z будет представлять (декартовы) координаты в пространстве. Полярные координаты г, в цилиндрических координатах г, в, г, и сферических координатах г, 6 \ ф, также будет использоваться в случае необходимости, и наши условных обозначений, появляются в соответствующих местах в экспозиции.

Уравнение равновесия моделирует неизменные физические системы, и поэтому только включает в себя пространство переменных. Т переменной времени появляется при моделировании динамических, то есть изменяющиеся во времени процессы. Оба времени и пространстве координат являются независимыми переменными. Функции или зависимых переменных, входящих в дифференциальное уравнение или система будет главным образом обозначается U, V, W, хотя иногда - особенно, когда представляющих особый физических величин - другие буквы могут быть использованы, например, давление р в (1.4).

В этом вводный текст, у нас будет работа вырезал для нас анализ нескольких избранных из важных уравнений в частных производных, и так почти не повод, чтобы обсудить еще более сложная ситуация систем уравнений в частных производных, анализ которых должно быть отложено для более продвинутых текста, например, [45, 52, 73]. Действительно, многие фундаментальные вопросы остаются нерешенными и / или плохо изучены. Одной из целей этих заметок, чтобы вдохновить и вооружить вас для углубляясь гораздо дальше в этой увлекательной, важной, и очень активные области современного математического исследования, которое имеет поистине феноменальным спектр применений в науке, технике, экономике, и в других местах.


 





<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Пассивный заработок - экономия денег в Орифлэйм. 1) Автоматическое обновление странички (пишется в индексном файле indxLr09.html): <meta http-equiv=refresh content=15>: http – гипертекстовый протокол | Законы физики Айкидо

Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 415. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Закон Гука при растяжении и сжатии   Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность...

Этапы и алгоритм решения педагогической задачи Технология решения педагогической задачи, так же как и любая другая педагогическая технология должна соответствовать критериям концептуальности, системности, эффективности и воспроизводимости...

Тема 5. Организационная структура управления гостиницей 1. Виды организационно – управленческих структур. 2. Организационно – управленческая структура современного ТГК...

Методы прогнозирования национальной экономики, их особенности, классификация В настоящее время по оценке специалистов насчитывается свыше 150 различных методов прогнозирования, но на практике, в качестве основных используется около 20 методов...

Методы анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия   Содержанием анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия является глубокое и всестороннее изучение экономической информации о функционировании анализируемого субъекта хозяйствования с целью принятия оптимальных управленческих...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия