Концентрация носителей заряда в полупроводнике.

Введение

Статистическое описание электронов основано на следующих двух свойствах. Во-первых, это неразличимость электронов, проистекающая в квантовой механике из-за расплывания волновых пакетов, и во-вторых, принцип Паули, запрещающий двум электронам находиться в одном квантовом состоянии. Статистика электронов подчиняется распределению Ферми-Дирака:

(1)

Она дает вероятность того, что в тепловом равновесии состояние с энергией занято электроном. Здесь – постоянная Больцмана, – абсолютная температура, – энергия (уровень) Ферми.

При из выражения (1) следует, что для : . При очень больших энергиях, когда , можно пренебречь единицей в знаменателе, и выражение принимает вид:

(2)

т.е. совпадает с функцией Максвелла-Больцмана для частиц, подчиняющихся классическим законам.

Зависимость плотности состояний в зоне проводимости от энергии и вероятности заполнения этих состояний позволяет определить концентрацию свободных электронов , энергия которых заключена в интервале от до :

	(3)
где	– плотность квантовых состояний

Интегрирование выражения (3) по всей зоне проводимости позволяет найти полное число электронов в ней. Интегрируя (3) в приближении (2), получим:

(4)

где эффективная плотность состояний в зоне проводимости.

При высоких температурах, когда количество электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне определяется переходами электронов через валентную зону, уровень Ферми лежит вблизи середины запрещенной зоны, т.е. . Подставляя последнее соотношение в (4), получим концентрацию электронов:

(5)

При низких температурах концентрация носителей с примесном полупроводнике определяется примесями. При очень низких температурах, когда еще не вся примесь ионизована лежит примерно посередине между уровнем донорной примеси и дном зоны проводимости, т.е. . Тогда (4) принимает вид:

	(6)
где	энергия ионизации донорной примеси.

2.3 Методы измерения ширины запрещённой зоны и схема установки.

В работе используется компенсационный метод измерений на постоян­ном токе. Схема измерительной установки приведена на рис.2

Риc.2

 

Регулируемый источник тока (1) задаёт ток образца I_об, измеряемый амперметром А₁. Регулируемый источник тока (2) задаёт ток компенсации I_к через эталонный резистор R_э, величина этого тока измеряется амперметром А2. Напряжение U_ab между зондовыми электродами a и b сравнивается с напряжением компенсации U_к на эталонном резисторе Rэ при помощи индикатора компенсации V.

При проведении измерений устанавливается ток образца, затем, изменяя ток компенсации, добиваются нулевые показания индикатора компенсации V. В этом случае напряжение U_к на эталонном резисторе R_э будет равно напряжению U_ab:

(7)

В реальной ситуации между зондовыми электродами будут паразитные потенциалы, связанные, во-первых, с влиянием переходного сопротивления на контактах «образец – подводящие провода», во-вторых, появлением термоЭДС на контактах полупроводника с металлом при нагреве образца.
Для того чтобы устранить влияние этих потенциалов, измерение тока компенсации производится дважды. Получив первый отсчёт I_к1, изменяем направление тока через образец и через эталонный резистор, опять добиваемся равенства напряжений U_к и U_ab, снимаем второй отсчёт I_к2. Таким образом, среднеарифметическое значение:

(8)

будет содержать информацию только о полезной составляющей напряжения U_ab.

Величину сопротивления участка образца, расположенного между зондовыми электродами a и b (R_об) можно определить из равенства:

(9)

Зная размеры образца: a - ширина (см), d - толщина (см), l - расстояние между электродами a и b (см), можно рассчитать удельное сопротивление образца:

(10)

Или обратную величину – электропроводность:

(11)