Результаты численного эксперимента.

Коэффициенты весомости для ЕП по возрастанию:

1. Боевой.

2. Тактический.

3. Технологичность.

 

4. Надежность.

5. Эксплуатационно-технический.

6. Выживаемость.

7. Экономичность.

 

Коэффициенты весомости для ИП и ЕП и глобальные приоритеты:

 

Блок-схема работы программы

 

Результаты численного эксперимента.

Введем N=4 и посмотрим, как ведут себя графики решений ОДУ y(t) и z(t). Использование неявного метода Эйлера позволяет получить лучшую точность решения (меньшую погрешность), чем у явного метода, несмотря на то что они имеют один и тот же порядок точности. Количество итераций в методе Ньютона равно 3. Погрешность по правилу Рунге в явном методе у y(t) равна 1,119, у z(t) 1,07466. В неявном соответственно 0,6258 и 0,602.

Явный метод эйлера при N=4

Неявный метод при N=4

 

Рассмотрим поведение графиков функций при N=25. Количество итераций в методе Ньютона равно 2. Погрешность по правилу Рунге в явном методе у y(t) равна 0,2183, у z(t) 0,1248. В неявном соответственно 0,1094 и 0,0626.

 

 

Явный метод эйлера при N=25

невный метод эйлера при N=25

 

Рассмотрим поведение графиков функций y(t) и z(t) при N=1000. Количество итераций в методе Ньютона равно 2. Погрешность по правилу Рунге в явном методе у y(t) равна 0,0054, у z(t) 0,0027. В неявном соответственно 0,0027 и 0,0014. Наблюдаем, что при увеличении N погрешность вычислений становится меньше. Тем самым при больших значениях данного параметра графики функций, построенные с помощью явного\неявного методов Эйлера будут приближаться к графику самого решения

Невный метод эйлера при N=1000

Явный метод эйлера при N=1000

 

Вывод: С использованием явного и неявного методов Эйлера найдено приближенное решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для контроля точности вычислений использовано правило Рунге, выбрав в качестве контрольной точки правый конец отрезка интегрирования. Рассмотрение различных случаев привело к выводу, что использование неявного метода Эйлера позволяет получить лучшую точность решения (меньшую погрешность), чем у явного метода, несмотря на то, что они имеют один и тот же порядок точности. При увеличении N погрешность вычислений становится меньше. Тем самым при больших значениях данного параметра графики функций, построенные с помощью явного/неявного методов Эйлера будут приближаться к графику самого решения.

Листинг программы на языке Delphi:

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, ComCtrls, TeEngine, Series, ExtCtrls, TeeProcs, Chart, Buttons, Functions;

type

TForm1 = class(TForm)

pgc1: TPageControl; ts_yavniy_metod: TTabSheet; ts_neyavniy_metod: TTabSheet;

grp1: TGroupBox; edt_yavniy_metod_y: TEdit; lbl1: TLabel; edt_yavniy_metod_z: TEdit;

lbl2: TLabel; edt_yavniy_meyod_y0: TEdit; lbl3: TLabel; edt_yavniy_metod_z0: TEdit;

lbl4: TLabel; grp2: TGroupBox; cht_yavniy_metod: TChart; lnsrs_yavniy_metod_y: TLineSeries;

lnsrs_yavniy_metod_z: TLineSeries; cht_neyavniy_metod: TChart; lnsrs_neyavniy_metod_y: TLineSeries;

lnsrs_neyavniy_metod_z: TLineSeries; Label6: TLabel;

procedure btn_yavniy_metod_closeClick(Sender: TObject);

procedure FormCreate(Sender: TObject);

procedure btn_yavniy_metod_solveClick(Sender: TObject);

procedure btn_neyavniy_metod_solveClick(Sender: TObject);

procedure btn_yavniy_metod_grafikClick(Sender: TObject);

procedure GrafikTochn(l1,l2:Tlineseries);

procedure btn_neyavniy_metod_grafikClick(Sender: TObject);

procedure btn_yavniy_metod_RungeClick(Sender: TObject);

procedure btn_neyavniy_metod_RungeClick(Sender: TObject);

end;

const hx=0.00001;

var

Form1: TForm1;

implementation

procedure TForm1.btn_yavniy_metod_solveClick(Sender: TObject);

var h, xi, yi, zi:Real;

i,j:Integer;

begin

if input(edt_yavniy_metod_y, edt_yavniy_metod_z, edt_yavniy_meyod_y0, edt_yavniy_metod_z0, edt_yavniy_metod_a, edt_yavniy_metod_b, edt_yavniy_metod_n, edt_yavniy_metod_n) then

begin

lnsrs_yavniy_metod_y.Clear; lnsrs_yavniy_metod_z.Clear;

h:=(b-a)/n; yi:=y0; zi:=z0; xi:=a;

lnsrs_yavniy_metod_y.AddXY(xi,yi); lnsrs_yavniy_metod_z.AddXY(xi,zi);

for i:= 0 to n-1 do

begin

FuncInput(y,xi,yi,zi); FuncInput(z,xi,yi,zi);

yi:=yi+h*y.FuncCount; zi:=zi+h*z.FuncCount; xi:=xi+h;

lnsrs_yavniy_metod_y.AddXY(xi,yi); lnsrs_yavniy_metod_z.AddXY(xi,zi);

end;

end;

end;

 

procedure MetodNyutona(xk,yk,zk,h:Real; var ykk,zkk:Real; var k:integer);

var i,j,m:Integer; matr:array [1..2,1..2] of Real;

yy,zz,yzh,yyh,zyh,zzh, yk1,zk1, yi, zi, a, det:Real;

begin

yk1:=yk; zk1:=zk; yi:=yk; zi:=zk; k:=0;

repeat

Inc(k); yk:=yk1; zk:=zk1; FuncInput(y,xk,yk,zk);

FuncInput(z,xk,yk,zk); yy:=y.FuncCount; zz:=z.FuncCount;

FuncInput(y,xk,yk+hx,zk); FuncInput(z,xk,yk+hx,zk);

yyh:=y.FuncCount; zyh:=z.FuncCount;

FuncInput(y,xk,yk,zk+hx); FuncInput(z,xk,yk,zk+hx);

yzh:=y.FuncCount; zzh:=z.FuncCount;

matr[1,1]:=1-h*(yyh-yy)/hx; matr[1,2]:=1-h*(yzh-yy)/hx;

matr[2,1]:=1-h*(zyh-zz)/hx; matr[2,2]:=1-h*(zzh-zz)/hx;

det:=matr[1,1]*matr[2,2]-matr[1,2]*matr[2,1];

a:=matr[1,1]; matr[1,1]:=matr[2,2]/det; matr[2,2]:=a/det;

matr[1,2]:=-matr[1,2]/det; matr[2,1]:=-matr[2,1]/det;

yk1:=yk-(matr[1,1]+matr[1,2])*(yk-yi-h*yy);

zk1:=zk-(matr[2,1]+matr[2,2])*(zk-zi-h*zz);

until (Abs(yk1-yk)<=e) and (Abs(zk1-zk)<=e);

ykk:=yk1; zkk:=zk1;

end;

 

procedure TForm1.btn_neyavniy_metod_RungeClick(Sender: TObject);

var h, h2, xi, yi, zi, yi2, zi2, e2:Real;

i,k:Integer; flag:Boolean;

begin

if input(edt_neyavniy_metod_y, edt_neyavniy_metod_z, edt_neyavniy_metod_y0, edt_neyavniy_metod_z0, edt_neyavniy_metod_a, edt_neyavniy_metod_b, edt_neyavniy_metod_e, edt_neyavniy_metod_n) then

begin

e2:=StrToFloat(edt_neyavniy_metod_e2.Text);

h2:=(b-a)/n; flag:=True; k:=n;

while flag do

begin

k:=k*2; yi:=y0; yi2:=y0; zi:=z0; zi2:=z0; h:=h2; h2:=h/2; xi:=a;

while xi<b do

begin

xi:=xi+h; MetodNyutona(xi,yi,zi,h,yi,zi,i);

end; xi:=a;

while xi<b do

begin

xi:=xi+h2; MetodNyutona(xi,yi2,zi2,h2,yi2,zi2,i); end;

flag:=((Abs(yi2-yi)>=e2)or(Abs(zi2-zi)>=e2)) end;

edt_neyavniy_metod_h.Text:=FloatToStr(h2);

edt_neyavniy_metod_Nr.Text:=IntToStr(Trunc((b-a)/h2)+1); end;

end;

 

procedure TForm1.GrafikTochn(l1,l2:Tlineseries);

var h, xi, yi, zi:Real; i,j:Integer;

begin

l1.Clear; l2.Clear; h:=(b-a)/200; xi:=a;

for i:= 0 to 200 do

begin

yi:=Exp(xi);//2.5*(xi+0.8)-1.25*(xi+0.8)*(xi+0.8)-0.2;

zi:=xi+exp(xi);//0.2+5/4*(xi+0.8)*(xi+0.8);

l1.AddXY(xi,yi); l2.AddXY(xi,zi); xi:=xi+h; end;

end;

 

procedure TForm1.btn_yavniy_metod_RungeClick(Sender: TObject);

var h, h2, xi, yi, zi, yi2, zi2:Real; i,k:Integer; flag:Boolean;

begin

if input(edt_yavniy_metod_y, edt_yavniy_metod_z, edt_yavniy_meyod_y0, edt_yavniy_metod_z0, edt_yavniy_metod_a, edt_yavniy_metod_b, edt_yavniy_metod_e2, edt_yavniy_metod_n) then

begin

h2:=(b-a)/n; flag:=True; k:=n;

while flag do

begin

k:=k*2; yi:=y0; yi2:=y0; zi:=z0; zi2:=z0; xi:=a; h:=h2;h2:=h/2;

while xi<b do

begin

FuncInput(y,xi,yi,zi);FuncInput(z,xi,yi,zi); yi:=yi+h*y.FuncCount;

zi:=zi+h*z.FuncCount; xi:=xi+h;

end; xi:=a;

while xi<b do

begin

FuncInput(y,xi,yi2,zi2); FuncInput(z,xi,yi2,zi2);

yi2:=yi+h2*y.FuncCount; zi2:=zi+h2*z.FuncCount; xi:=xi+h2;

end;

flag:=((Abs(yi2-yi)>=e)or(Abs(zi2-zi)>=e)) end;

edt_yavniy_metod_h.Text:=FloatToStr(h2);

edt_yavniy_metod_Nr.Text:=IntToStr(Trunc((b-a)/h2)+1);

end;

end.

Литература

1) Н.Н. Гудович. Избранные вопросы курса численных. Выпуск VII. Одношаговые методы решения задачи Коши Учебное пособие для вузов. Воронеж 2007.

2) Вержбицкий В.М. Основы численных методов. Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк, 2002. -840 с.: ил.