Применяя метод Остроградского вычислить интеграл .

 

Решение.

Представим исходный интеграл в виде

Дифференцируя и приводя к общему знаменателю, получаем тождество

1 ≡ (x ⁴ - 1)(7 Ax ⁶ + 6 Bx ⁵ + 5 Cx ⁴ + 4 Dx ³ + 3 Ex ² + 2 Fx + G) –

- 8 x ³(Ax ⁷ + Bx ⁶ + Cx ⁵ + Dx ⁴ + Ex ³ + Fx ² + Gx + H) +

+ (x ⁸ - 2 x + 1)(Kx ³ + Lx ² + Mx + N).

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства, имеем

Решая систему, получаем A = B = D = E = F = H = K = L = M = 0, C = 7/32, G = -11/32, N = 21/32. Таким образом,

Вычисляя последний интеграл, окончательно получаем

Примеры.

Необходимо иметь в виду простейшие преобразования дифференциала

В общем случае:

j'(x)dx=dj(x)

Примеры

Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки) основано на формуле

где х = j(t) - дифференцируемая функция переменной t.

Примеры. Найти интеграл

Этот пример можно решить и по-другому см. п.5.

Чтобы избавиться от корня, положим

Тригонометрические подстановки

1) Если интеграл содержит радикал

то полагают

отсюда

Далее сответственно

Пример. Найти

Если u = j(x) и v = y(х) - дифференцируемые функции, то

Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет произведение алгебраической и трансцендентной функции.
В качестве u обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве dv - оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая dx, из которой можно определить v путем интегрирования.

Примеры.

°. Интеграл вида

путем дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата по формуле

сводится к одному из двух интегралов

где u = х + k.

2°. Интеграл

сводится к интегралам вида (8.1) или (8.2) и интегралу

Примеры.

3°. Интеграл

сводится к одному из интегралов:

4°. Интеграл вида

сводится к одному из двух интегралов

5°. Интеграл вида

сводится к разобранным выше интегралам.

Примеры.

6°. Интегралы вида

с помощью обратной подстановки

приводятся к интегралам вида 5°.

Пример.

1°. Интегралы вида

находятся с помощью тригонометрических формул

2°. Интегралы вида

где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени

Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)

Примеры.

3°. Если m = -m, n = -l - целые отрицательные числа одинаковой четности, то

В частности, к этому случаю сводятся интегралы

Примеры.

4°. Интегралы вида

где R - рациональная функция от sinx и cosx, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью подстановки

при этом

Если R{-sin x, cosx) = R(sinx, cosx), то целесообразно применить подстановку tgx = t. при этом

Примеры.

Здесь подынтегральная функция является рациональной функцией от sinx и cosx. Применяем подстановку


Подынтегральная функция не меняется от замены sinx на (-sinx), cosx на (-cosx), то есть R(-sinx,cosx) = R(sinx,cosx). Применим подстановку tgx = t:

Задача 1. Вычислить неопределенные интегралы. Задача 2. Вычислить определенные интегралы. Задача 3. Найти неопределенные интегралы.

 

Задача 4. Вычислить определенные интегралы. Задача 5. Найти неопределенные интегралы. Задача 6. Найти неопределенные интегралы.

 

Задача 7. Найти неопределенные интегралы. Задача 8. Вычислить определенные интегралы.

Задача 9. Вычислить определенные интегралы. Задача 10. Вычислить определенные интегралы. Задача 11. Вычислить определенные интегралы.

Задача 12. Вычислить определенные интегралы. Задача 13. Найти неопределенные интегралы. Задача 14. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

 

Задача 15. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями. Задача 16. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах. Задача 21. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. Ось вращения .

Задача 17. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат. Задача 18. Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.

Задача 19. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

Задача 20. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

Цилиндр наполнен газом пол атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным, определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившемся внутрь цилиндра на м (рис. 3).

У к а з а н и е. Уравнение состояния газа , где - давление, - объем.