Решение задач

для студентов фармацевтического факультета

к практическому занятию по теме:

«Точечные оценки параметров распределения»

1. Научно-методическое обоснование темы:

Под выборочными характеристиками распределения понимают основные числовые характеристики выборочной статистической совокупности: среднюю выборочную, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение. Ценность этих выборочных характеристик определяется тем, что с их помощью можно оценить соответствующие числовые характеристики генеральной совокупности. Различают так называемые точечные оценки этих характеристик и их интервальные оценки.

2. Краткая теория:

Оценка характеристики распределения называется точечной, если она определяется одним числом, которому приближенно равна оцениваемая характеристика.

Генеральной средней дискретной генеральной совокупности называется среднее арифметическое всех значений изучаемого признака X в генеральной совокупности:

, (1)

где N – объем выборки.

Формула (1) имеет лишь теоретическое значение, так как на практике имеют дело не со всей генеральной совокупностью, а только с некоторой выборкой из нее.

Наилучшей оценкой генеральной средней является средняя выборочная, определяемая как среднее арифметическое всех значений изучаемого признака в выборке:

, (2)

где - частота встречаемости значения в выборке, - количество вариант, - объем выборки.

Математическим выражением того факта, что средняя выборочная представляет собой наилучшую оценку генеральной средней, является приближенное равенство

, (3)

Генеральной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений всех значений изучаемого признака X в генеральной совокупности от генеральной средней:

, (4)

Наилучшей оценкой генеральной дисперсии является так называемая исправленная выборочная дисперсия , определяемая по формуле

, (5)

Математическим выражением того факта, что исправленная выборочная дисперсия представляет собой наилучшую оценку генеральной дисперсии, является приближенное равенство

, (6)

Генеральным средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из генеральной дисперсии:

, (7)

Наилучшей оценкой генерального среднего квадратического отклонения является исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение , определяемое по формуле

, (8)

Математическим выражением того факта, что исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение представляет собой наилучшую оценку генерального среднего квадратического отклонения , является приближенное равенство

, (9)

Пример. При подсчете количества листьев на каждом из 20 комнатных растений определенного вида получены следующие результаты: 11, 10, 9, 10, 7, 11, 11, 13, 10, 8, 12, 10, 9, 12, 9, 10, 8, 12, 11, 10. Дать точечные оценки основных числовых характеристик генеральной совокупности.

Решение. Из полученных результатов видно, что количество листьев на растениях варьируется от 7 до 13. Значение 7 встречается 1 раз, значение 8 -2раза, значение 9 – 3 раза и т.д. Таким образом, можно составить следующий дискретный ряд распределения:

По формуле (2) найдем среднюю выборочную:

.

Таким образом, точечная оценка генеральной средней имеет вид:

.

Используя значение средней выборочной , по формуле (5) найдем исправленную выборочную дисперсию:

и в соответствии с (6) получим точечную оценку генеральной дисперсии :

.

Далее, по формуле (8) найдем исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение :

и в соответствии с (9) получим:

.

3. Цель деятельности студентов на занятии:

Студент должен знать:

1. Понятие точечной оценки характеристики распределения.

2. Определение генеральной средней дискретной генеральной совокупности.

3. Определение генеральной дисперсии.

4. Определение исправленной выборочной дисперсии.

Студент должен уметь:

Находить точечные оценки основных числовых характеристик генеральной совокупности.

4. Содержание обучения:

Теоретическая часть:

1. Генеральная средняя дискретной генеральной совокупности.

2. Генеральная дисперсия.

3. Исправленная выборочная дисперсия.

4. Генеральное среднее квадратическое отклонение.

5. Выборочное среднее квадратическое отклонение.

Практическая часть:

1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n =50

Дать точечную оценку генеральной средней.

2. Дать точечную оценку генеральной дисперсии по данному распределению выборки объема n=100

3. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n =10

4.Из продукции, произведенной фармацевтической фабрикой за месяц,случайным образом отобраны 15 коробочек некоторого гомеопатического препарата, количество таблеток в которых оказалось равным соответственно 50, 51, 48, 52, 51, 50, 49, 50, 47, 50, 51, 49, 50, 52, 48. 3. Дать точечную оценку среднего количества таблеток в коробочках с данным

видом продукции, выпущенной фабрикой за месяц.

5.При измерении артериального давления у случайным образом отобранных 30 пациентов клиники получены следующие результаты (в мм рт.ст.): 151, 166, 133, 155, 179, 148, 143, 128, 138, 172, 163, 157, 158, 136, 169, 153, 142, 147, 134, 164, 167, 131, 152, 145, 176, 122, 149, 154, 161, 156. Дать точечную оценку среднего значения артериального давления у всех пациентов клиники.

6. При 12-кратном измерении температуры раствора серной кислоты получены следующие значения: 20,0; 20,3; 20,0; 20,2; 19,5; 20,5; 19,7; 20,0; 20,4; 20,0; 19,6; 19,8. Дать точечную оценку истинной концентрации раствора.

5.Перечень вопросов для проверки исходного уровня знаний:

1.Что понимают под выборочными характеристиками распределения?

2. Какая оценка характеристики распределения называется точечной?

3.Запишите формулы для генеральной средней, генеральной дисперсии, генерального среднего квадратического отклонения.

6. Перечень вопросов для проверки конечного уровня знаний:

1. Чем определяется ценность выборочных характеристик распределения?

2.Запишите формулы выборочной средней, исправленной выборочной дисперсии, исправленного выборочного среднего квадратического отклонения.

7. Хронокарта учебного занятия:

1. Организационный момент – 5 мин.

2. Разбор темы – 20 мин.

3.Решение ситуационных задач - 40 мин.

4. Текущий контроль знаний -30 мин.

5. Подведение итогов занятия – 5 мин.

8. Перечень учебной литературы к занятию:

1. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики. М., «Медицина», 2004, § 9.3.

2. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики. М., «ГЭОТАР-Медиа», 2006, § 8.2.

3.Ремизов А.Н., Максина А.Г., Потапенко А.Я. Медицинская и биологическая физика. М., «Дрофа», 2008, § 3.2.

1.

Вариант 1.

В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 3,6; 3,8; 4,3. Тогда несмещенная оценка дисперсии равна …

· 0,13

· 0,065

· 3,9

· 0,7

Вариант 2.

Проведено пять измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 2,1; 2,3; ; 2,7; 2,9. Если несмещенная оценка математического ожидания равна 2,48, то равно …

· 2,4

· 2,5

· 2,6

· 2,48

Вариант 3.

Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 8, 9, , 12. Если несмещенная оценка математического ожидания равна 10, то выборочная дисперсия будет равна …

· 2,5

· 2,0

· 0

· 1,5

Вариант 4.

Проведено пять измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 4,5; 5,2; 6,1; 7,8, 8,3. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …

· 6,38

· 6,42

· 6,1

· 6,4

Вариант 5.

В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 15; 18; 21; 24. Тогда выборочная дисперсия равна …

· 11,25

· 19,5

· 15

· 21,25

2.

Вариант 1.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

Тогда выборочное среднее квадратическое отклонение равно …

·

·

· 10,46

·

Вариант 2.

По выборке объема найдена выборочная дисперсия . Тогда исправленное среднее квадратическое отклонение равно …

· 2,0

· 4,0

· 3,24

· 1,8

Вариант 3.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …

· 13,14

· 13,0

· 13,34

· 13,2

3.

Вариант 1.

Если все варианты исходного вариационного ряда увеличить в два раза, то выборочная дисперсия …

· увеличится в четыре раза

· увеличится в два раза

· не изменится

· увеличится на четыре единицы

Решение задач

Вид.

1.

В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 3,6; 3,8; 4,3. Тогда несмещенная оценка дисперсии равна …

· 0,13

· 0,065

· 3,9

· 0,7

Решение:

Несмещенная оценка дисперсии вычисляется по формуле:

, где . Вычислив предварительно , получаем .

2.

Проведено пять измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 2,1; 2,3; ; 2,7; 2,9. Если несмещенная оценка математического ожидания равна 2,48, то равно …

· 2,4

· 2,5

· 2,6

· 2,48

Решение:

Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле: . То есть .

Следовательно, .

3.

Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 8, 9, , 12. Если несмещенная оценка математического ожидания равна 10, то выборочная дисперсия будет равна …

· 2,5

· 2,0

· 0

· 1,5

Решение:

Вычислим предварительно значение . Так как несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле: , то . Следовательно, .

Для вычисления выборочной дисперсии применим формулу .

Тогда .

4.

Проведено пять измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 4,5; 5,2; 6,1; 7,8, 8,3. Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …

· 6,38

· 6,42

· 6,1

· 6,4

Решение:

Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле . То есть .

5.

В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 15; 18; 21; 24. Тогда выборочная дисперсия равна …

· 11,25

· 19,5

· 15

· 21,25

Решение:

Выборочная дисперсия вычисляется по формуле , где . Вычислив предварительно , получаем .

Вид.

1.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

Тогда выборочное среднее квадратическое отклонение равно …

·

·

· 10,46

·

Решение:

Выборочное среднее квадратическое отклонение вычисляется как , где . Тогда

, и .

2.

По выборке объема найдена выборочная дисперсия . Тогда исправленное среднее квадратическое отклонение равно …

· 2,0

· 4,0

· 3,24

· 1,8

Решение:

Исправленное среднее квадратическое отклонение вычисляется как , где . Тогда .

3.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …

· 13,14

· 13,0

· 13,34

· 13,2

Решение:

Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле . То есть .

Вид

1.

Если все варианты исходного вариационного ряда увеличить в два раза, то выборочная дисперсия …

• увеличится в четыре раза
• увеличится в два раза
• не изменится
• увеличится на четыре единицы

Решение:

Для исходного вариационного ряда выборочную дисперсию можем вычислить по формуле .