Точечные оценки.
Выборочная средняя и выборочная дисперсия.
Оценки параметров генеральной совокупности, полученные на основании выборки, называются статистическими. Если статистическая оценка характеризуется одним числом, она называется точечной. К числу таких оценок относятся выборочная средняя и выборочная дисперсия.
Выборочная средняя определяется как среднее арифметическое полученных по выборке значений:
,
где
- варианта выборки;
- частота варианты;
- объем выборки.
Выборочная дисперсия представляет собой среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от их выборочной средней:
.
Для расчетов может быть использована также формула
,
где
- выборочная средняя квадратов вариант выборки.
Статистическая оценка является случайной величиной и меняется в зависимости от выборки. Если математическое ожидание статистической оценки равно оцениваемому параметру генеральной совокупности, то такая оценка называется несмещенной, если не равно – то смещенной.
Выборочная средняя является оценкой математического ожидания случайной величины и представляет собой несмещенную оценку. Выборочная дисперсия оценивает дисперсию генеральной совокупности и является смещенной оценкой.
Для устранения смещенности выборочной дисперсии ее умножают на величину
и получают
.
Величину
называют несмещенной или «исправленной» выборочной дисперсией.
Модой
дискретного вариационного ряда называется вариант, имеющую наибольшую частоту.
Медианой
дискретного вариационного ряда называется вариант, делящий ряд на две равные части.
Если дискретный вариационный ряд имеет
членов в ранжированной совокупности:
, то
.
Если дискретный вариационный ряд в ранжированной совокупности имеет
членов:
, то
.
Коэффициент вариации
-. Коэффициент вариации показывает сколько процентов от
составляет среднее квадратическое отклонение.
В некоторых случаях для удобства расчетов при определении статистических оценок переходят к условным вариантам. Например, если варианты
- большие числа, то используют разности
,
где
- произвольно выбранное число (ложный нуль), такое, при котором условные варианты принимают небольшие значения.
В этом случае
,
,
.
Для изменения значения варианты можно ввести также условные варианты путем использования масштабного множителя:
,
где
(
выбирается положительным или отрицательным целым числом).
Пример 1.
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема
:
Найти смещенную оценку генеральной средней.
Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя
.
Пример 2. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки:
Решение. так как выборочные значения – большие числа, то целесообразно ввести условные варианты. В качестве ложного нуля выбираем
и рассчитываем
по формуле
:
|
| -20
|
|
|
|
|
|
|
|
Определяем выборочную среднюю
.
После этого находим
.
Пример 3. Найти несмещенную оценку дисперсии случайной величины
на основании данного распределения выборки:
Решение. Находим выборочную среднюю
.
Для вычисления выборочной дисперсии используем формулу
:
,
.
Находим несмещенную оценку дисперсии («исправленную» выборочную дисперсию):
.
