Выборочная средняя и выборочная дисперсия.

1.

Если все варианты исходного вариационного ряда увеличить в два раза, то выборочная дисперсия …

• увеличится в четыре раза
• увеличится в два раза
• не изменится
• увеличится на четыре единицы

Решение:

Для исходного вариационного ряда выборочную дисперсию можем вычислить по формуле .

Точечные оценки.

Выборочная средняя и выборочная дисперсия.

 

Оценки параметров генеральной совокупности, полученные на основании выборки, называются статистическими. Если статистическая оценка характеризуется одним числом, она называется точечной. К числу таких оценок относятся выборочная средняя и выборочная дисперсия.

 

Выборочная средняя определяется как среднее арифметическое полученных по выборке значений:

 

,

 

где - варианта выборки;

- частота варианты;

- объем выборки.

 

Выборочная дисперсия представляет собой среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от их выборочной средней:

.

 

Для расчетов может быть использована также формула

,

где - выборочная средняя квадратов вариант выборки.

 

Статистическая оценка является случайной величиной и меняется в зависимости от выборки. Если математическое ожидание статистической оценки равно оцениваемому параметру генеральной совокупности, то такая оценка называется несмещенной, если не равно – то смещенной.

 

Выборочная средняя является оценкой математического ожидания случайной величины и представляет собой несмещенную оценку. Выборочная дисперсия оценивает дисперсию генеральной совокупности и является смещенной оценкой.

Для устранения смещенности выборочной дисперсии ее умножают на величину и получают

.

 

Величину называют несмещенной или «исправленной » выборочной дисперсией.

 

Модой дискретного вариационного ряда называется вариант, имеющую наибольшую частоту.

 

Медианой дискретного вариационного ряда называется вариант, делящий ряд на две равные части.

 

Если дискретный вариационный ряд имеет членов в ранжированной совокупности: , то

.

Если дискретный вариационный ряд в ранжированной совокупности имеет членов: , то

.

 

Коэффициент вариации

-. Коэффициент вариации показывает сколько процентов от составляет среднее квадратическое отклонение.

 

В некоторых случаях для удобства расчетов при определении статистических оценок переходят к условным вариантам. Например, если варианты - большие числа, то используют разности

,

где - произвольно выбранное число (ложный нуль), такое, при котором условные варианты принимают небольшие значения.

В этом случае

 

, ,

 

.

 

Для изменения значения варианты можно ввести также условные варианты путем использования масштабного множителя:

,

где ( выбирается положительным или отрицательным целым числом).

 

Пример 1.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

 

Найти смещенную оценку генеральной средней.

 

Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя

 

.

 

Пример 2. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки:

 

 

Решение. так как выборочные значения – большие числа, то целесообразно ввести условные варианты. В качестве ложного нуля выбираем и рассчитываем по формуле :

	-20

 

Определяем выборочную среднюю .

После этого находим .

 

Пример 3. Найти несмещенную оценку дисперсии случайной величины на основании данного распределения выборки:

 

Решение. Находим выборочную среднюю

 

.

 

Для вычисления выборочной дисперсии используем формулу :

 

,

.

Находим несмещенную оценку дисперсии («исправленную» выборочную дисперсию):

.