Формула полной вероятности. Как говорилось ранее, эскон любого объекта задает его физическое состояние в любой момент времени, то есть является его управителем

Формула полной вероятности.

Пусть имеется группа событий H ₁, H ₂,..., H_n, обладающая следую­щими свойствами:

1) все события попарно несовместны: H_i H_j =Æ; i, j =1,2,..., n; i¹j;

2) их объединение образует пространство элементарных исходов W:

W = .

Рис.8

В этом случае будем говорить, что H ₁, H ₂,..., H_n образуют полную группу событий. Такие события иногда называют гипотезами.

Пусть А – некоторое событие: А Ì W (диаграмма Венна представлена на рисунке 8). Тогда имеет место формула полной вероятности:

P (A) = P (A / H ₁) P (H ₁) + P (A / H ₂) P (H ₂) +...+ P (A / H_n) P (H_n) =

Доказательство. Очевидно: A = , причем все события (i = 1,2,..., n) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения вероятностей получаем

P (A) = P () + P () +...+ P (

Если учесть, что по теореме умножения P () = P (A/H _i) P (H _i) (i = 1,2,..., n), то из последней формулы легко получить приведенную выше формулу полной вероятности.

Пример. В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода - 30%, второго - 50%, третьего - 20%. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной.

Пусть событие H ₁ состоит в том, что выбранная лампа произведена на первом заводе, H ₂ на втором, H ₃ - на третьем заводе. Очевидно:

P (H ₁) = 3/10, P (H ₂) = 5/10, P (H ₃) = 2/10.

Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; A/H_i означает событие, состоящее в том, что выбрана бракованная лампа из ламп, произведенных на i -ом заводе. Из условия задачи следует:

P (A/H ₁) = 5/10; P (A/H ₂) = 3/10; P (A/H ₃) = 2/10

По формуле полной вероятности получаем