Задачи с решениями.

1.В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй – 8 белых и 2 черных. При перевозке из первой урны во вторую урну перекатились два шара. После того, как шары во второй урне перемешались, из неё выкатился шар. Найти вероятность того, что выкатившийся из второй урны шар белый.

Пусть событие Н ₁ состоит в том, что из первой урны во вторую перекатились два белых шара, событие Н ₂ состоит в том, что перекатились два чёрных шара, а событие Н ₃ состоит в том, что перекатились шары разного цвета. Можно вычислить вероятности Р (Н ₁) = = 7/15, Р (Н ₂) = = 1/15, Р (Н ₃) = = 7/15 (при решении задачи полезно проверить выполнение необходимого условия ).

Если реализовалась гипотеза Н ₁, то во второй урне оказалось 10 белых и 2 черных шара. Обозначим через А событие, заключающееся в том, что из второй урны выкатился белый шар. Тогда Р (А/Н ₁) = = 5/33. Если реализовалась гипотеза Н ₂, то во второй урне оказалось 8 белых и 4 чёрных шара, и Р (А/Н ₂) = = 4/33. Легко показать, что Р (А/Н ₃) = = 3/22. Теперь можно воспользоваться формулой полной вероятности:

Р (А) = (5/33)×(7/15) + (4/33) (1/15) + (3/22) (7/15) = 47/330

2. В условие задачи №1 внесем изменение. Пусть после того, как из первой урны во вторую перекатились два шара и шары во второй урне перемешались, из неё выкатился белый шар. Найти вероятность того, что из первой урны во вторую перекатились разноцветные шары.

Вычисления предыдущей задачи подставим в формулу Байеса

Р (Н ₃/ А) = Р (А / Н ₃) Р (Н ₃)/ Р (А) = (3/22)(7/15)/(47/33) = 7/47

3. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры выбираются 2 мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются ещё два мяча. Найти вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами.

Обозначим через А событие, заключающееся в том, что вторая игра будет проводиться новыми мячами. Пусть гипотеза Н ₁ состоит в том, что для первой игры были выбраны два новых мяча, гипотеза Н ₂ состоит в том, что для первой игры были выбраны новый и играный мячи, гипотеза Н ₃ состоит в том, что для первой игры были выбраны два играных мяча. Определим вероятности гипотез:

Р (Н ₁) = ; Р (Н ₂) = ; Р (Н ₃) = .

Теперь вычислим условные вероятности события А.

Р (А/Н ₁) = ; Р (А/Н ₂) = ; Р (А/Н ₃) = .

Осталось подставить результаты вычислений в формулу полной вероятности

Р (А) =

4. Сообщение со спутника на землю передаётся в виде бинарного кода, то есть как упорядоченного набора нулей и единиц. Предположим, что послание на 70% состоит из нулей. Помехи приводят к тому, что только 80% нулей и единиц правильно распознаются приёмником. Если принят сигнал “1”, то какова вероятность того, что отправлен сигнал “0”?

Пусть событие В ₀ состоит в том, что отправлен сигнал “0”, а событие В ₁ – в том, что отправлен сигнал “1”. Пусть событие А ₀ состоит в том, что принят сигнал “0”, с событие А ₁ – в том, что принят сигнал “1”. Нас интересует Р (В ₀/ А ₁). По условию

Р (В ₀) = 0,7 Р (В ₁) = 0,3

Р (А ₀/ В ₀) = 0,8 Р (А ₁/ В ₀) = 0,2

Р (А ₁/ В ₀) = 0,8 Р (А ₀/ В ₁) = 0,2

По формуле Байеса получаем

Р (В ₀/ А ₁) = 0,2×0,7/(0,2×0,7+0,8×03) = 0,37.