Моделирование временного ряда

В общем случае каждый уровень временного можно представить как функцию четырех компонент: f (t), S (t), U (t), (t), отражающих закономерность и случайность развития. Где

f (t) – тренд (долговременная тенденция) развития;

S (t) – сезонная компонента;

U (t) –циклическая компонента;

(t)– остаточная компонента.

В модели временного ряда принято выделять две основные составляющие: детерминированную (систематическую) и случайную. Под детерминированной составляющей временного ряда понимают числовую последовательность, элементы которой вычисляются по определенному правилу как функция времени t. Исключив детерминированную составляющую из данных, мы получим колеблющийся вокруг нуля ряд, который может в одном предельном случае представлять случайные скачки, а в другом – плавное колебательное движение.

Детерминированная составляющая может содержать следующие структурные компоненты:

1) тренд, или тенденция f (t), представляет собой устойчивую закономерность, наблюдаемую в течение длительного периода времени. Обычно тренд (тенденция) описывается с помощью той или иной неслучайной функции f _тр(t) (аргументом которой является время), как правило, монотонной. Эту функцию называют функцией тренда, или просто – трендом.

2) Сезонная компонента s(t) связана с наличием факторов, действующих с заранее известной периодичностью. Это регулярные колебания, которые носят периодический или близкий к нему характер и заканчиваются в течение года. Типичные примеры сезонного эффекта: изменение загруженности автотрассы по временам года, пик продаж товаров для школьников в конце августа – начале сентября. Спрос на пластические операции сезонный: в осенне-зимний период обращений больше. Типичным примером являются сильные колебания объема товарно-материальных запасов в сезонных отраслях Сезонная компонента со временем может меняться, либо иметь плавающий характер.

3) Циклическая компонента u (t) – неслучайная функция, описывающая длительные периоды (более одного года) относительного подъема и спада и состоящая из циклов переменной длительности и амплитуды. Примером циклической (конъюнктурной) компоненты являются волны Кондратьева, демографические «ямы» и т.п. Подобная компонента весьма характерна для рядов макроэкономических показателей. Здесь циклические изменения обусловлены взаимодействием спроса и предложения, а также наложением таких факторов, как истощение ресурсов, погодные условия, изменения в налоговой политике и т.п. Отметим, что циклическую компоненту крайне трудно идентифицировать формальными методами, исходя только из данных изучаемого ряда.

4) Случайная компонента (t) - это составная часть временного ряда, оставшаяся после выделения систематических компонент. Она отражает воздействие многочисленных факторов случайного характера и представляет собой случайную, нерегулярную компоненту. Она является обязательной составной частью любого временного ряда в экономике, так как случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому экономическому явлению. Если систематические компоненты временного ряда определены правильно, то остающаяся после выделения из временного ряда этих компонент так называемая остаточная последовательность (ряд остатков) будет случайной компонентой ряда.

В анализе случайного компонента экономических временных рядов важную роль играет сравнение случайной величины с хо­рошо изученной формой случайных процессов - стационарными случайными процессами.

В зависимости от вида связи между этими компонентами может быть построена либо аддитивная модель:

Y (t) =f (t)+ S (t)+ U (t)+ (t); (3.1)

либо мультипликативная модель:

Y (t) =f (t)× S (t)× U (t)+ (t) (3.2)

В процессе формирования значений временных рядов не всегда участвуют все четыре компоненты. Однако во всех случаях предполагается наличие случайной составляющей.

Тренды. Проводя разложение ряда на компоненты, мы, как правило, подразумеваем под трендом изменение среднего уровня переменной, то есть тренд среднего.

В рамках анализа тренда среднего чаще всего используют полиномиальный тренд:

(3.3)

Для p = 1 имеем линейный тренд.

AR(p) -авторегрессионая модель порядка p. Модель имеет вид:

(3.4)

где - зависимая переменная в момент времени t.

- оцениваемые параметры. - ошибка от влияния переменных, которые не учитываются в данной модели.

Задача заключается в том, чтобы определить . Их можно оценить различными способами. Один из наиболее простых способов - посчитать их методом наименьших квадратов.

Термин авторегрессия для обозначения модели (3.4) используется потому, что она фактически представляет собой модель регрессии, в которой регрессорами служат лаги изучаемого ряда . По определению авторегрессии ошибки E_t являются белым шумом и некоррелированы с лагами . Таким образом, выполнены все основные предположения регрессионного анализа: ошибки имеют нулевое математическое ожидание, некоррелированы с регрессорами, не автокоррелированы и гомоскедастичны. Следовательно, модель (3.4) можно оценивать с помощью обычного метода наименьших квадратов. Отметим, что при таком оценивании p начальных наблюдений теряются.

После построения любой модели временного ряда, прежде, чем прогнозировать по этой модели, нужно убедиться в ее адекватности, т.е. убедиться, что остатки некоррелированы между собой.

Критерий Дарбина-Уотсона является наиболее распространенным критерием для проверки корреляции внутри ряда. Если величина

, где - расхождение между фактическими и расчетными уровнями, имеет значение, близкое к 2, то можно считать модель достаточно адекватной. Когда адекватная модель найдена, можно делать прогнозы на один или несколько периодов вперед.