Определение 2.2.(3)Множества равны, если они содержат одни и те же элементы, порядок элементов, как уже отмечалось, роли не играет. Иначе говоря, A=B, если для любого x выполняется:
Например, если А ={2,4,6}, а В = {х: х есть четное положительное целое число, которое меньше 7}, тогда А и В — равные множества. Как уже упоминалось, если не оговаривается обратное, порядок следования элементов в множестве не имеет значения, как и наличие повтора элементов (то есть множество однозначно определяется только элементами, которые оно содержит), поэтому A={1,2,3,4,5}, B={2,3,1,4,5}, C={1,1,2,3,3,3,5,4,4,4,4}, A = B = C.
Можно определить равенство множеств и следующим образом: A=B Если A
Таким образом, доказательство равенства множеств А и В состоит из двух этапов: 1) Доказать, что А есть подмножество В. 2) Доказать, что В есть подмножество А.
Замечание 2.2.(2). Рассматривая множества и действия над ними, обычно имеют в виду существование некоторого основного (базового, универсального) множества, из которого черпают примеры множеств. Мы будем обозначать его Ω (это обозначение принято в теории вероятностей, к изучению которой мы перейдем во втором семестре). В теории множеств его обозначают какой-либо заглавной латинской буквой, например М или U. В некотором смысле основное множество Ω и пустое множество Ø представляют собой противоположности, поскольку пустое множество не содержит элементов, а универсальное множество содержит "все" элементы.
2.2.Операции над множествами. Формула двойственности
Множества удобно изображать в виде рисунка, который называется кругами Эйлера (в теории множеств) или диаграммами Венна(Вьенна) (в логике). На рисунке 2.2.(1) основное множество (пространство)W изображено в виде прямоугольника, а произвольное множество A, заключено в эллипс. Сами элементы (точки) на кругах Эйлера не изображаются, а информация о соотношении между их множествами содержится в расположении границ соответствующих областей.
Суммой (объединением)двух множеств А и B (обозначается A U B
Приведем пример объединения множеств. Пусть множество А - множество россиян, а множество B – множество студентов, тогда A U B есть множество всех людей, являющихся либо гражданами РФ, либо студентами (возможно, и то и другое, но хотя бы одно условие должно быть выполнено)
Произведением (пересечением) A ∩ B (или АВ, А×В)множеств А и B называется множество, состоящее из всех тех точек, которые принадлежат и А и B. В нашем примере это множество учащихся в высших учебных заведениях россиян
Рис. 2.2.(4) их пресечение пусто A∩ B = Ø
Разностью А \ B или А - B событий А и B называется событие, состоящее из всех исходов события А, не благоприятствующих событию B. Диаграмма Венна разности событий А и B изображена на рисунке 2.2.(5).
В условиях рассмотренного выше примера множество А \ B состоит из тех россиян, которые в данный момент студентами не являются
Симметрической разностью А∆В называется событие, состоящее из всех исходов, входящих в события А и В по-отдельности, но не принадлежащие им обоим (на рис. 2.2.(3)) – незаштрихованная область внутри А и В). А∆В = A U B \ A ∩ B. Это, соответственно, россияне – не студенты и студенты – не россияне.
Множество
Рис. 2.2.(6)
Замечание. Существенно, что мы находимся все время в рамках одного и того же основного множества – Ω, поскольку без него операцию дополнения просто не определить.
|
B и 
то говорят, что A - собственное подмножество множества B.
Рис.2.2.(1)
или А+В) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих по крайней мере одному из множеств А или B, возможно и обоим, но по крайней мере одному – точно.
Если у множеств нет общих точек (см рис.2.2.(4)), их
= W \ A = СΩА, состоящее из всех точек, не принадлежащих множеству А (но принадлежащих определенному основному множеству Ω) дополнением множества А (до множества (пространства) Ω). (заштрихованная область вне множества А на рис. 2.2.(6)).
