Власні вектори і власні значення матриць

Однією з найпоширеніших задач обчислювальної лінійної алгебри є задача пошуку власних векторів х і власних значень X матриці А, що знаходяться з розв’язку рівняння Ах=Хх.

У лінійній алгебрі власні значення іноді позначаються λ₁, λ₂,....

Для розв’язання задач на знаходження власних векторів і власних значень матриць в MathCad вбудовано кілька функцій, що реалізують досить складні обчислювальні алгоритми:

1) eigenvals(M) - повертає вектор, що містить власні значення матриці М;

2) eigenvec(М, z) - визначає власний вектор одиничної довжини, що відповідає власному значенню z квадратної матриці М;

3) eigenvecs(М, z) - повертає матрицю з нормалізованих власних векторів, які відповідають власним значенням квадратної матриці М; n -тий стовпчик поверненої матриці є власним вектором, що відповідає n -му власному значенню, розрахованому функцією eigenvals. Додатковий останній параметр "L" визначає ліве власне значення (рис. 1.6).

Рисунок 1.6. – Приклад розрахунку власних значень та векторів матриці

 

Окрім задачі пошуку власних векторів і значень іноді розглядають більш загальну задачу - так звану задачу знаходження узагальнених власних значень. В її формулюванні крім матриці А задається ще одна квадратна матриця В. Для розв’язання такої задачі в пакеті реалізовано дві вбудовані функції, дія яких аналогічно розглянутим:

- genvals (A, В) - повертає вектор v власних значень, кожен з яких задовольняє завданню на узагальнені власні значення;

- genvecs (A, B) - повертає матрицю нормалізованих власних векторів, що відповідають власним значенням, повернутим функцією genvals. А, В - квадратні матриці.

 

Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)

Система лінійних алгебраїчниї рівнянь в матричній формі має вигляд АХ = В. Відомо, що така система сумісна (теорема Кронекера-Капеллі), якщо ранг розширеної матриці дорівнює рангу матриці системи, тобто rank(A)= rank(A|B). Сумісна система має єдиний розв’язок, якщо rank(A)= rank(A|B)= n, де n - розмірність матриці А. У пакеті MathCAD для розв’язання СЛАР реалізовано функцію lsolve(A,B) та розв’язувальний блок Give - Find.

Системи лінійних рівнянь зручно вирішувати за допомогою функції lsolve.

Формат функції: lsolve(А, B). Функція має два параметри: А - квадратна, несингулярна матриця, що складається з коефіцієнтів при змінних у рівняннях; B - вектор, що має стільки ж рядів, скільки рядів в матриці А і складається з вільних членів рівнянь. Як результат використання даної функції повертається вектор розв’язку x такий, що Ах = B.

Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь матричним методом і за допомогою вбудованої функції:

Обчислення рангу початкової матриці і розширеної.

Виведення розв’язків, одержаних матричним методом і за допомогою вбудованої функції lsolve(A,B):

 

Функції Find і Minerr

Використовуються для знаходження коренів рівнянь та систем. У функції Find реалізований алгоритм пошуку точного значення коренів, а у функції Minerr - наближених значення з мінімальною середньоквадратичною похибкою.

Формат функцій:

Find(список змінних)