Оценка корреляционной функции

В прикладных задачах часто нужно определить корреляционную функцию и спектральную плотность по экспериментальным данным. При этом мы можем наблюдать и анализировать только «кусок» реализации на временном интервале от нуля до некоторого , поэтому для невозможно использовать усреднение по ансамблю. Остается надеяться на то, что процесс эргодический, и применять усреднение по времени.

Пусть известна реализация случайного процесса на интервале от 0 до . Для оценки (приближенного вычисления) корреляционной функции при (то есть при положительных , достаточно малых по сравнению с ) можно использовать формулу

.

(1)

Обратите внимание, что время усреднения равно , а не , потому что только интервал содержит как , так и . К сожалению, точно вычислить этот интеграл невозможно, потому что мы не знаем математическую формулу для . В реальности обычно известны только значения этой функции (выборка) в моменты , где – интервал между измерениями. Тогда можно приближенно подсчитать только для (где ) по формуле

, , в которой интеграл заменен на сумму.

С теоретической точки зрения математическое ожидание такой оценки (при усреднении по ансамблю)совпадает с истинной корреляционной функцией, то есть это – несмещенная оценка.

Оценка спектральной плотности