Координатно-векторний метод розв’язування стереометричних задач

Впровадження здоров'язберігаючих технологій потребує від учителя, по-перше, не допускати перевантаження учнів, визначаючи оптимальний обсяг навчальної інформації й способи її надання, враховувати інтелектуальні та фізіологічні особливості учнів, індивідуальні мовні особливості кожного учня. Намагатися планувати такі види роботи, які сприяють зниженню втоми. Здоров'язберігаючі технології передбачають: зміну видів діяльності, чергування інтелектуальної, емоційної, рухової видів діяльності; групової й парної форм роботи, які сприяють підвищенню рухової активності, вчать вмінню поважати думки інших, висловлювати власні думки, правилам спілкування; проведення ігор та ігрових ситуацій, нестандартних уроків, інтегрованих уроків.

Вступ

 

Координатний метод розв'язування задач на сьогоднішній день найбільш потужний і при правильному підході дозволяє розв'язувати фактично всі види математичних, фізичних, астрономічних і технічних задач.

 

 

ТЕЗИ

наукової роботи «Координатний метод розв'язування»,

Виконаної

Гоменюком Владиславом Валентиновичем– учнем 9-Б класу

Гімназії № 59 ім. О. М. Бойченка м. Києва, слухач МАН

педагогічний керівник: Кабанець Тетяна Іванівна –

Вчитель-методист гімназії №59 ім.О.М.Бойченка

 

В своїй роботі я поставив задачу показати, як розв'язуються стереометричні задачі, якщо на них поглянути «по-іншому», тобто розглянути задачу в тривимірній системі координат.

Предметом дослідження є координатно-векторний метод розв’язування стереометричних задач.

 

Координатно-векторний метод розв’язування стереометричних задач

Деякі метричні задачі зручно розв’язувати за допомогою координатно-векторного методу. Це перш за все завдання, в яких мова йде про куб, прямокутний паралелепіпед або тетраедр з прямим кутом. Прямокутна система координат у просторі природним чином пов'язана з многогранниками, при цьому серед координат їх вершин є багато нулів, що спрощує обчислення.

Сутність координатного методу, як і векторного, полягає в тому, що геометрична задача перекладається на мову алгебри, і її розв’язання зводиться до розв’язання рівнянь, нерівностей чи їх систем.

З курсу стереометрії відомо, що рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно ненульовому вектору в прямокутній системі координат має вигляд:

,

, де

 

Навпаки, будь-яке рівняння першого степеня визначає в координатному просторі єдину площину, яка перпендикулярна вектору з координатами (A, B, C).

Положення площини в просторі однозначно визначається заданням трьох точок, що не лежать на одній прямій. Нехай дана площина перетинає осі координат в точках , , , але не проходить через початок координат. Підставивши координати цих точок у загальне рівняння площини, отримаємо:

 

, , ,

 

де числа відмінні від нуля. Звідси знаходимо:

 

 

і рівняння приводиться до вигляду:

 

 

Отримане рівняння називають рівнянням площини у відрізках. Його часто застосовують при розв’язуванні задач.

Як відомо, відстань між двома точками і обчислюється за формулою:

 

Користуючись даною формулою можна легко вивести рівняння сфери.

В прямокутній системі координат рівняння сфери радіуса R з центром в точці має вигляд:

 

 

Якщо центр сфери співпадає з початком координат, то рівняння матиме вигляд:

 

 

Розглянемо способи задання прямої в координатному просторі.

Нехай пряма l проходить через дану точку і паралельна ненульовому вектору Вектор називають напрямним вектором прямої l (рис. 2).

Довільна точка належить прямій l тоді і тільки тоді, коли вектори

 

або

 

де t– деяке число (параметр). Дане співвідношення в координатах рівносильне системі рівнянь:

 

Дану систему називають параметричними рівняннями прямої.

Якщо пряма l паралельна осі то вектор є напрямним вектором, і рівняння прямої прийме вигляд: (координата z прийме довільне значення).

Нехай жодна з координат вектора не рівна 0. Тоді виключивши з отриманих рівнянь параметр t, отримаємо рівняння:

 

 

Отримані рівняння називаються канонічними рівняннями прямої.

Виведемо формулу для обчислення відстані від даної точки до площини , заданої в прямокутній системі координат рівнянням

 

 

Нехай перпендикуляр, проведений з точки до площини , перетинає її в точці (Рис. 3).

Тоді

 

 

Так як вектор перпендикулярний площині і колінеарний вектору то згідно з визначенням скалярного добутку,

 

Позначимо Тоді

 

 

Виразимо скалярний добуток, що стоїть в знаменнику дробу, через координати векторів і Отримаємо:

 

 

Точка лежить в площині , тому . Таким чином, маємо:

 

 

Враховуючи, що , отримаємо:

 

 

Отже, для того щоб обчислити відстань від точки до площини , потрібно в многочлен замість підставити координати точки , взяти модуль отриманого числа і поділити його на число

Наведемо основні векторні співвідношення і формули, які використовуються для розв'язування стереометричних задач.

1) Для будь-яких трьох точок Α, Β,C має місце рівність:

(правило трикутника).

 

2) Для будь-яких трьох точок Α, Β і О виконується рівність:

 

.

 

3) Для того, щоб точка С лежала на прямій АВ, необхідно і достатньо, щоб існувало таке число k, що

 

 

 

З даної рівності випливає, що

.

 

4) Нехай А і В – дві різні точки прямої і точка С – точка даної прямої така, що . Доведемо істинність формули:

 

 

де О – довільна точка.

Відмітимо, що , інакше було б, що , або

 

,

тобто . Але це неможливо, тому що А і В різні точки.

Нехай або Користуючись правилом віднімання векторів, отримаємо:

 

,

,

 

Дану формулу називають формулою ділення відрізка в даному відношенні. Якщо С – середина відрізка АВ, то і

 

.

 

5) Чотирикутник ABCD є паралелограмом тоді і тільки тоді, коли виконується одна з наступних рівностей:

 

, , ,

 

де O – довільна точка простру.

6) Якщо вектори і неколінеарні, то для будь-якого вектора , що лежить в одній площині з і , існує єдина пара чисел x і y таких, що .

7) В просторі для кожного вектора існує єдиний розклад за трьома некомпланарними векторами , , :

 

(x, y, z – однозначно визначені числа).

8) Нехай точки А, В, С не лежать на одній прямій; тоді для того щоб точка D лежала в площині АВС, необхідно і достатньо, щоб існувала така пара чисел α і β, що .

При розв’язуванні різних геометричних задач на обчислення довжин відрізків і величин кутів, на доведення геометричних нерівностей ефективно використовувати скалярне множення векторів. Нагадаємо його основні властивості.

1) З визначення скалярного добутку слідує, що

 

,

 

тобто скалярний квадрат вектора рівний квадрату його довжини. Отже, для знаходження довжини відрізка AB може бути використана формула

 

.

 

За допомогою скалярного добутку двох векторів можна знаходити довжину відрізка, величину кута, отже, знаходити відстані, площі та інші метричні характеристики геометричних фігур. Для доведення перпендикулярності прямих і площин зручно користуватися ознакою перпендикулярності двох ненульових векторів:

Для знаходження довжини відрізка АВ векторним способом в якості базисних вибирають такі вектори, довжини яких і кути між якими вже відомі. Потім записують розклад вектора за базисними векторами і знаходять:

 

Якщо в задачі потрібно знайти величину кута , то в якості базисних беруть вектори з відомими відношеннями їх довжин і кутами між ними. Потім вибирають вектори на сторонах цього кута з початком в його вершині і розкладають їх по базису, після чого знаходять cos φ за формулою

 

 

2) Для будь-яких векторів і має місце нерівність

 

.

 

3) Відрізки AB і CD перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли

 

.

 

4) Для будь-яких векторів і має місце формула:

 

 

Для успішного використання векторного методу, корисно знати деякі рівності, які часто використовуються для роз’язування задач.

5) Для будь-яких векторів , , виконується рівність:

.

 

6) Для будь-яких трьох точок A, B і C:

 

,

 

теорема косинусів.

7) Для будь-яких чотирьох точок A, B, C, D:

 

.

 

Вектори і в лівій частині представимо у вигляді різниці двох векторів, відкладених від точки A. Отримаємо:

 

.

 

Доведена рівність є узагальненням рівності 6), яка випливає з неї при співпаданні точок D і A.