Контрольная работа № 2Контрольная работа № 2 Варианты контрольных заданий Задание 2.1. Решить задачу с использованием классической формулы подсчета вероятностей. 1. В партии из 18 деталей шесть бракованные. Случайным образом из партии отобрано 5 деталей. Какова вероятность, среди отобранных деталей: а) не будет ни одного бракованного; б) будет более 3 годных деталей. 2. В цехе работают 10 мужчин и 5 женщин. По табельным номерам случайно отобраны 6 человек. Найти вероятность, что среди отобранных окажутся: а) пять женщин; б) хотя бы два мужчины. 3. В лотерее участвуют 30 билетов. Известно, что выигрышными являются 8 билетов. Некто покупает 6 билетов. Какова вероятность, среди приобретенных билетов: а) будет хотя бы один выигрышный; б) будет 3 выигрышных билета. 4. В урне находится 7 шаров, из которых четыре красных и три синих. Наудачу из урны вынимают три шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров: а) все синие; б) не менее 2 синих. 5. В бригаде 5 мужчин и 3 женщины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся: а) две женщины; б) хотя бы один мужчина. 6. На вечеринку приглашены 12 человек, в том числе Катя и Андрей. Приглашенных случайным образом рассаживают за круглым столом. Найти вероятность того, что Катя и Андрей окажутся сидящими: а) рядом; б) через одного человека. 7. Некто решил участвовать в лотерее «6 из 49». Какова вероятность, что среди указанных им в карточке 6 номеров окажутся выигрышными: а) все номера; б) не менее 5 номеров. 8. На экзамен по математике вынесены 30 вопросов. Студент знает ответы на 20 вопросов. Найти вероятность того, что в полученном билете, состоящем из трех вопросов, студент будет знать ответы: а) на все вопросы; б) хотя бы на два вопроса. 9. В вазе для продажи цветов находится 15 растений старого среза и 7 нового среза. Наудачу для букета выбирается 5 растений. Найти вероятность, что среди выбранных растений: а) не будет свежесрезанных; б) будет хотя бы одно нового среза. 10. Формируется железнодорожный состав из 7 вагонов. Найти вероятность, что два конкретных вагона окажутся: а) рядом; б) в голове состава.
Задание 2.2. Решить задачу с использованием формулы полной вероятности, формулы Байеса. 1. Для сборки некоторого изделия на предприятии используется комплектующий узел, поставляемый другими заводами. Вероятность поставки негодного узла первым заводом равна 0.02, вторым - 0.03, третьим - 0.05. Всего закуплено 25 узлов первого завода, 35 - второго и 20 - третьего. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие, выпущенное предприятием с использованием комплектующих, поставленных этими заводами, будет содержать работоспособный узел. 2. В группе 25 студентов, в том числе 4 отличника, 10 хорошо успевающих и 11 занимающихся слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки, хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью как отличную, так и хорошую оценки. Слабо занимающиеся студенты с равной вероятностью могут получить хорошую, удовлетворительную или неудовлетворительную оценки. Для сдачи экзамена наугад приглашается один из студентов. Какова вероятность того, что он получит отличную или хорошую оценку? 3. Вероятность того, что изделие соответствует стандарту, равна 0.94. Принятая система проверки изделий на стандартность обеспечивает выбраковку негодных изделий с вероятностью 0.95, а вероятность забраковать стандартное изделие равна 0.03. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие будет признано стандартным. 4. Проверка качества выпускаемых изделий показала, что брак по продукции в среднем составляет 5%. Принятая система проверки изделий на стандартность позволяет пропустить бракованное изделие с вероятностью 0.04, а вероятность забраковать стандартное изделие равна 0.02. Найти вероятность того, что изделие признанное стандартным, действительно соответствует стандарту. 5. Статистика кредитов в банке такова: 20% - государственные органы и другие банки, 50% - предприятия, остальные - физические лица. Вероятности невозврата взятого кредита составляют, соответственно: 0.01, 0.03 и 0.15. Найти вероятность невозврата очередного выданного кредита. 6. Анализ невозвратов кредитов в банке показывает, что в среднем кредит не возвращает 7% клиентов. Принятая в банке система контроля за выдачей кредита позволяет отсеять 96% ненадежных заемщиков, но в то же время отклоняет запросы на кредит 5% платежеспособных клиентов. Найти вероятность того, что очередной клиент, которому отказано в выдаче кредита, действительно является неплатежеспособным. 7. В цехе три группы станков производят одни и те же детали. Производительность их одинакова, но качество выпускаемой на них продукции разное. Известно, что станки первой группы дают 4% брака, второй – 5%, третьей –2%. Все произведенные детали в нерассортированном виде поступают на склад. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бракованной, если станков первой группы 5, второй –3, а третьей –2. 8. На склад поступила продукция трех фабрик в объемах относящихся как 3:2:7. Известно, что доля стандартных изделий среди продукции первой фабрики составляет 96%, второй –97%, третьей 99%. Первое наудачу взятое изделие оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что оно изготовлено на первой фабрике. 9. Имеются три урны. В первой урне 10 белых и 10 черных шаров, во второй - 20 белых, в третьей – 20 черных шаров. Из выбранной наугад урны вынули черный шар. Найти вероятность того, что шар вынут из третьей урны. 10. Предприниматель для достижения некоторой цели проводит две экономические операции А и В, каждая из которых может завершиться неудачно. При этом для достижения цели достаточно успешного завершения любой из операций. Вероятность удачного осуществления операции А составляет 0.8, а операции В – 0.6. В результате проведенных операций бизнесмен добивается успеха. Определить вероятность того, что цель была достигнута в результате успешного осуществления операции В. Задание 2.3. Решить задачу с использованием формулы Бернулли. 1. В магазине самообслуживания 4 кассы. Для каждой кассы вероятность того, что в данный момент она работает, равна 0.7. Найти вероятность того, что в данный момент: а) работают все кассы; б) работают только две кассы. 2. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта во время гарантийного срока равна 0.1. Найти вероятность того, что из 6 проданных в данный день телевизоров во время гарантийного срока потребуют ремонта: а) ровно два; б) хотя бы один. 3. Пассажирское автопредприятие, обеспечивающее автобусами городской маршрут, имеет 7 машин. Для нормальной перевозки пассажиров требуется не менее 6 автобусов. Найти вероятность нормального обслуживания пассажиров на ближайший день, если вероятность невыхода каждого автобуса на линию равна 0.15. Какова вероятность, что на линию выйдет менее пяти автобусов? 4. Вероятность того, что автомобильный двигатель потребует капитального ремонта после пробега в 100000 км, равна 0.2. Найти вероятность того, что из пяти автомобилей, имеющих пробег более 100000 км, капитальному ремонту не подвергались двигатели: а) на двух автомобилях; б) хотя бы на одном. 5. Всхожесть семян огурцов из данной партии составляет 90%. Найти вероятность того, что из 12 посеянных семян взойдет: а) десять семян; б) не менее одиннадцати. 6. В агентстве по продаже железнодорожных билетов 5 касс. Вероятность того, что в данный момент времени у произвольной кассы образовалась очередь равна 0.9. Найти вероятность того, что при появлении очередного покупателя в кассовом зале: а) не будет свободных касс; б) будет не более одной свободной кассы. 7. По статистике каждый пятый клиент банка приходит в банк брать проценты с вклада. В данный момент времени ожидают своей очереди обслуживания 8 человек. Какова вероятность того, что из них будут брать проценты: а) хотя бы один человек; б) ровно половина стоящих в очереди. 8. Из поступивших в магазин женской обуви партии туфель четвертая часть черного цвета, однако это становится известно только после распаковки. Найти вероятность того, что в 6 нераскрытых коробках находится черных туфель: а) только одна пара; б) не менее двух пар. 9. Вероятность того, что произвольный день в июле будет солнечным равна 0.8. Найти вероятность того, что на предстоящей неделе солнечными будут: а) шесть дней; б) не менее пяти. 10. Через железнодорожную станцию ежедневно проходит 6 пассажирских поездов. Каждый поезд может прийти на станцию по расписанию с вероятностью 0.7. Найти вероятность того, что по расписанию на станцию прибудут: ровно три поезда; б) не менее пяти поездов.
Задание 2.4. Распределения дискретных случайных величин, их геометрические представления и числовые характеристики. 1.
б) построить график функции распределения случайной величины Х; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. 2. Для дискретной случайной величины Х с заданным рядом распределения:
б) построить график функции распределения случайной величины Х; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. 3.
б) построить график функции распределения случайной величины Х; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. 4.
с заданным рядом распределения: а) найти вероятности Р (Х >1), Р (Х <2), P (-2< X <6); б) построить график функции распределения случайной величины Х; в) составить ряд распределения случайной величины Y =3 X; г) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y. 5.
с заданным рядом распределения: а) найти вероятности Р (Х <2), Р (Х >4), P (0< X <7); б) построить график функции распределения случайной величины Х; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. 6. Для дискретной случайной величины Х с заданным рядом распределения: а) найти вероятности Р (Х >4), Р (Х <5), P (3< X <8); 7.
б) построить график функции распределения случайной величины Х; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. 8.
б) построить график функции распределения случайной величины Х; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. 9.
б) построить график функции распределения случайной величины Х; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины. 10. Для дискретной случайной величины Х с заданным рядом распределения: а) найти вероятности Р (Х <2), Р (Х >5), P (3< X <8);
Задание 2.5. Нормальное распределение случайных величин, его аналитические и геометрические представления, числовые характеристики, вычисление вероятностей, правило «трех сигм». 1. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием равным, равным двум, и средним квадратическим отклонением, равным трем. Для случайной величины Х: а) найти вероятности Р (X >1), Р (2< X <5), Р (X <2), Р (X =4); б) составить функцию плотности вероятности f (x) и соответствующую ей функцию распределения F (x) и построить их примерные графики; в) написать правило «трех сигм». 2. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным единице, и средним квадратическим отклонением, равным трем. Для случайной величины Х: а) найти вероятности Р (X >1), Р (3< X <6), Р (X <2), Р (X =4); б) составить функцию плотности вероятности f (x) и соответствующую ей функцию распределения F (x) и построить их примерные графики; в) написать правило «трех сигм». 3. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием равным, равным трем, и средним квадратическим отклонением, равным двум. Для случайной величины Х: а) найти вероятности Р (X >1), Р (2< X <5), Р (X <3), Р (X =4); б) составить функцию плотности вероятности f (x) и соответствующую ей функцию распределения F (x) и построить их примерные графики; в) написать правило «трех сигм». 4. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием равным, равным единице, и средним квадратическим отклонением, равным двум. Для случайной величины Х: а) найти вероятности Р (X >0), Р (2< X <5), Р (X <2), Р (X =4); б) составить функцию плотности вероятности f (x) и соответствующую ей функцию распределения F (x) и построить их примерные графики; в) написать правило «трех сигм». 5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием равным, равным единице, и средним квадратическим отклонением, равным двум. Для случайной величины Х: а) найти вероятности Р (X >1), Р (2< X <6), Р (X <3), Р (X =4); б) составить функцию плотности вероятности f (x) и соответствующую ей функцию распределения F (x) и построить их примерные графики; в) написать правило «трех сигм». 6. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием равным, равным двум, и средним квадратическим отклонением, равным единице. Для случайной величины Х: а) найти вероятности Р (X >1), Р (3< X <6), Р (X <4), Р (X =5); б) составить функцию плотности вероятности f (x) и соответствующую ей функцию распределения F (x) и построить их примерные графики; в) написать правило «трех сигм». 7. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием равным, равным трем, и средним квадратическим отклонением, равным единице. Для случайной величины Х: а) найти вероятности Р (X >1), Р (2< X <6), Р (X <4), Р (X =3); б) составить функцию плотности вероятности f (x) и соответствующую ей функцию распределения F (x) и построить их примерные графики; в) написать правило «трех сигм». 8. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием равным, равным единице, и средним квадратическим отклонением, равным двум. Для случайной величины Х: а) найти вероятности Р (X >1), Р (3< X <6), Р (X <5), Р (X =4); б) составить функцию плотности вероятности f (x) и соответствующую ей функцию распределения F (x) и построить их примерные графики; в) написать правило «трех сигм». 9. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием равным, равным трем, и средним квадратическим отклонением, равным двум. Для случайной величины Х: а) найти вероятности Р (X >1), Р (2< X <5), Р (X <4), Р (X =3); б) составить функцию плотности вероятности f (x) и соответствующую ей функцию распределения F (x) и построить их примерные графики; в) написать правило «трех сигм». 10. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием равным, равным двум, и средним квадратическим отклонением, равным единице. Для случайной величины Х: а) найти вероятности Р (X >2), Р (3< X <6), Р (X <5), Р (X =4); б) составить функцию плотности вероятности f (x) и соответствующую ей функцию распределения F (x) и построить их примерные графики; в) написать правило «трех сигм».
|
