Краткие теоретические сведения. 1. Элементы комбинаторики Размещениями m из n элементов называются m - элементные подмножества множества Е={a1,a2, ,an}
1. Элементы комбинаторики Размещениями m из n элементов называются m - элементные подмножества множества Е={ a1,a2,…,an }, различающиеся либо набором элементов, либо порядком их следования. Общее число таких различных комбинаций обозначается символом . Перестановками называются размещения из n по n элементов. Общее число перестановок обозначают символом . Сочетаниями из n по m элементов называются m- элементные подмножества множества Е={ a1,a2,…,an }, имеющие различный состав элементов. Два сочетания считаются различными, если хотя бы один элемент входит в одну комбинацию, но не входит в другую. Общее число различных сочетаний обозначают символом . Число размещений, перестановок и сочетаний определяются формулами: 2. Классическое определение вероятности , где n – общее число элементарных событий (исходов, которые в данном опыте образуют конечную полную группу равновозможных попарно несовместных событий), m – число элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А. 3. Геометрическое определение вероятности . Вероятность попадания точки в какую либо часть А области Ω; пропорциональна мере (длине, площади, объему и т.д.) этой части и не зависит от ее расположения и формы. 4. Основные свойства вероятности Вероятность любого события А - число, заключенное между 0 и 1. Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность достоверного события равна 1. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Для любых двух событий A и B имеет место формула (теорема сложения для произвольных событий): . Для полной группы несовместных событий Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: - теорема умножения. Если события А и В – независимые, то - теорема умножения. 5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса Если известно, что событие А может произойти с одним из событий (гипотез), образующих полную группу попарно несовместных событий, то вероятность события А определяется по формуле полной вероятности: Вероятности гипотез после того как имело место событие А переоценивают по формулам Байеса:
6. Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна p (вероятность «успеха»), то вероятность того, что в этих n испытаниях событие А наступит ровно k раз, выражается формулой Бернулли: Число k0 называется наивероятнейшим числом наступления события А в n испытаниях по схеме Бернулли, если значение при не меньше остальных значений. Число можно найти из двойного неравенства: . 7. Предельные теоремы в схеме Бернулли Теорема 1 (Локальная теорема Лапласа). При больших n Теорема 2 (Интегральная теорема Лапласа). При больших n вероятность того, что в серии испытаний событие А появится от до раз, выражается приближенной формулой: , - функция Лапласа. Теорема 3 (Закон «редких» явлений Пуассона). При и малых p, если среднее число успехов , имеет место приближенная формула .
|