Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и методы их решений

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и методы их решений

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных:

(1)

Решение системы уравнений - это последовательность чисел (), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных дает верное числовое равенство - тождество.

Коэффициенты называются свободными членами.

Если , то система называется однородной. Однородная система всегда совместна

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений.

Другими словами, система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Над системами алгебраических уравнений можно производить элементарные преобразования, которые не меняют решений систем.

К элементарным преобразованиям относятся:

1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2)Перестановка уравнений местами.

3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.