Теоретические сведения. Постановка задачи. Требуется найти решение уравнения вида f(x)=0

Постановка задачи. Требуется найти решение уравнения вида f(x)=0. Решением является такое значение x=x*, при котором исходное уравнение обращается в тождество.

Численное решение нелинейного уравнения состоит из двух этапов:

1) отделение (изолирование) корня;

На этапе изолирования корня определяется отрезок [a;b], которому принадлежит корень и на котором он единственный. Изолировать корни можно различными способами: табулированием, графически.

Для графического изолирования корней уравнение f(x)=0 заменяют равносильным уравнением φ(x)=ψ(x) и строят графики функций y₁=φ(x) и y₂=ψ(x). Абсциссы точек пересечения этих графиков дают приближённые значения искомых корней.

Единственность корня проверяется выполнением теоремы Коши: если функция непрерывна и дифференцируема на отрезке [a;b] и на концах этого отрезка имеет значения разных знаков, а первая и вторая производные сохраняют знак на этом отрезке, то внутри этого отрезка существует корень и он единственный.

2) уточнение значения корня.

Рассмотрим общие принципы решения уравнений итерационными методами. Дано уравнение f(x)=0 с изолированным корнем . Преобразуем уравнение к виду . Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения : , , , … . Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находим последовательность приближённых значений корня .

Преобразуя уравнение к виду, удобному для итераций, получим уравнение вида при . В зависимости от значения λ различают и методы решения уравнений:

1. в методе простой итерации , где при . Итерационная формула имеет вид: , где . Метод сходится при любом начальном приближении .

2. в методе Ньютона . Итерационная последовательность сходится при выборе начального приближения из условия .

3. в методе хорд (секущих) . Итерационная последовательность сходится при выборе начального приближения из условия . Через обозначены координата и значение функции в неподвижном конце промежутка.

Итерационный процесс заканчиваем при выполнении условия , где - заданная точность приближения.

Погрешность методов определяется по следующим формулам:

- метода простой итерации, где ;

- методов Ньютона и хорд, где на отрезке .