Ход работы. 1.Изолирование и уточнения корня

1.Изолирование и уточнения корня

Изолируем корни с помощью графического метода.

Для построения графика составляем таблицу для нескольких точек и строим график функции f(x)=x³-11x+4

х	-5	-4,5	-4	-3,5	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5
у	-66	-37,625	-16	-0,375		15,875		17,125		9,375

х	0,5		1,5		2,5		3,5		4,5
у	-1,375	-6	-9,125	-10	-7.875	-2	8,375		45,625

 

 

Из данного графика видно, что интересующий нас корень уравнения принадлежит промежутку x [2,5;3,5]

По теореме Коши проверяем истинность корня:

f(2,5)=-7,875 f(3,5)=8,375 f(2,5)*f(3,5)<0

f '(x)=3x²-11

f '(2,5)=7,75–m₁ f'(3,5)=25,75–M₁ f'(2,5)*f'(3,5)>0

f "=6x

f "(2,5)=15 f"(3,5)=21 f"(2,5)* f"(3,5)>0

2. Решение уравнения

2.1 Метод простой итерации

М₁=25,75 начальное приближение х₀=2,5

х_i=х_i-1-f(x_i-1)/M₁ Для х₁=2,5-(2,5³-11*2,5+4)/25,75

i	xi	xi-xi-1
	2,5
	2,805825	0,305825243
	2,991254	0,185428455
	3,074331	0,083077787
	3,103868	0,029536272
	3,113184	0,009316454
	3,115992	0,002808025
	3,116826	0,000834013
	3,117073	0,000246608
	3,117146	7,28224E-05
	3,117167	2,14957E-05
	3,117174	6,34438E-06
	3,117175	1,87245E-06
	3,117176	5,52622E-07

 

Решение с точностью ε=10^-4 было достигнуто на 9 итерации, с точностью ε=10^-6 на 13

α =1-7,75/25,75=0,699029

при Δх= =0,000169

при Δх= =1,28351E-06

х=3,117±0,0002 х=3,11717±1*10^-6

2,2 Метод Ньютона

Условие f(x)*f "(x)<0, тогда х₀=3,5

x_i=х_i-1-f(x_i-1)/f'(x_i-1) Для х₁=3,5- /(6*3,5²-11)

i	xi	xi-xi-1
	3,5
	3,174757282	0,325242718
	3,118807783	0,055949499
	3,117177547	0,001630236
	3,117176177	1,36977E-06
	3,117176177	9,66338E-13

 

Решение с точностью ε=10^-4 было достигнуто на 4 итерации, с точностью ε=10^-6 на 5.

при Δх =2,26319E-12

при Δх =0

x=3,117176177±2*10^-12 x=3,117176177

2.3. Метод хорд

Условие f(x)*f"(x)>0, тогда х₀=2,5 координата и значение функции в неподвижном конце промежутка =3,5; =8,375

Для х₁=

i	xi	xi-xi-1
	2,5
	2,984615385	0,484615385
	3,093527163	0,108911779
	3,113114926	0,019587763
	3,116483415	0,003368489
	3,117058143	0,000574728
	3,11715607	9,79271E-05
	3,117172752	1,66818E-05
	3,117175594	2,84163E-06
	3,117176078	4,84048E-07

Решение с точностью ε=10^-4 было достигнуто на 6 итерации, с точностью ε=10^-6 на 9

при Δх =4,70895E-05

при Δх =2,32751E-07

x=3,1172±5*10^-5 x=3,117176±2*10^-7

Вывод. Построение графика функции и расчеты производились в MS Excel.

 

В ходе выполнения данной практической работы ознакомились с итерационными методами численного решения нелинейных уравнений. Уяснили сущность задачи и метода её решения. Корни во всех методах получились одинаковы.

Наиболее точный метод – метод Ньютона,

метод простой итерации: Δх=2*10^-4;

Δх=1*10^-6

метод Ньютона Δх=2*10^-12;

Δх=0

метод хорд Δх=5*10^-5

Δх=2*10^-7