СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ

Er wachte zu spät auf, sprang sofort aus dem Bett, zerriss dabei die Bettdecke und warf das Wasserglas vom Nacht­tisch. Das machte ihn schon sehr ärger­lich. Er wusch sich nicht, zog sich in al­ler Eile an, verwechselte die Strümpfe und band sich eine falsche Krawatte um. Er steckte nur schnell einen Apfel ein, verließ die Wohnung und rannte die Treppe hinunter. Die Straßenbahn fuhr ihm gerade vor der Nase weg. Er lief ungeduldig zehn Minuten lang an der Haltestelle hin und her. Er stieg eilig in die nächste Bahn, verlor aber dabei die Fahrkarte aus der Hand. Er drehte sich um, hob die Fahrkarte vom Boden auf, aber der Fahrer machte im selben Augenblick die automatischen Türen zu. Er hielt ein Taxi an, aber der Taxifahrer verstand die Adresse falsch und lenkte den Wagen zunächst in die falsche Rich­tung. So verging wieder viel Zeit. Er kam 45 Minuten zu spät in der Firma an, entschuldigte sich beim Chef und beruhig­te die Sekretärin. Er schlief dann noch eine halbe Stunde am Schreibtisch.

 

ГЛАВА 7

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ

ПРОЦЕССОВ (МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО)

§ 22. Идея, назначение и область применимости метода

В предыдущих главах мы научились строить неко­торые аналитические модели операций со стохастиче­ской («доброкачественной») неопределенностью. Эти модели позволяют установить аналитическую (формуль­ную) зависимость между условиями операции, элемен­тами решения и результатом (исходом) операции, ко­торый характеризуется одним или несколькими пока­зателями эффективности. Во многих операциях системы массового обслуживания или другие, аналогичные им (например, технические устройства с узлами, выходя­щими из строя), фигурируют как «подсистемы» или «части» общей управляемой системы. Польза и жела­тельность построения аналитических моделей (хотя бы приближенных) сомнению не подлежат. Беда в том, что их удается построить только для самых простых, «незатейливых» систем, и, самое главное, они требуют допущения о марковском характере процесса, что дале­ко не всегда соответствует действительности. В слу­чаях, когда аналитические методы неприменимы (или же требуется проверить их точность), приходится при­бегать к универсальному методу статистического мо­делирования или, как его часто называют, методу Монте-Карло.

Идея метода чрезвычайно проста й состоит она в следующем. Вместо того чтобы описывать процесс с помощью аналитического аппарата (дифференциаль­ных или алгебраических уравнений), производится «розыгрыш» случайного явления с помощью специаль­но организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат. В дейст­вительности конкретное осуществление (реализация) случайного процесса складывается каждый раз по-ино­му; так же и в результате статистического моделирова­ния («розыгрыша») мы получаем каждый раз новую, отличную от других реализацию исследуемого процесса. Что она может нам дать? Сама по себе — почти ничего, так же как, скажем, один случай излечения боль­ного с помощью какого-то лекарства (или несмотря на лекарство). Другое дело, если таких реализаций полу­чено много. Это множество реализаций можно исполь­зовать как некий искусственно полученный статисти­ческий материал, который может быть обработан обыч­ными методами математической статистики. После такой обработки могут быть получены (разумеется, приближенно) любые интересующие нас характеристи­ки: вероятности событий, математические ожидания и дисперсии случайных величин и т. д. При модели­ровании случайных явлений методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом иссле­дования, заставляем ее «работать на нас».

Нередко такой прием оказывается проще, чем по­пытки построить аналитическую модель. Для сложных операций, в которых участвует большое число элемен­тов (машин, людей, организаций, подсобных средств), в которых случайные факторы сложно переплетены, где процесс — явно немарковский, метод статистиче­ского моделирования, как правило, оказывается проще аналитического (а нередко бывает и единственно воз­можным).

В сущности, методом Монте-Карло может быть ре­шена любая вероятностная задача, но оправданным он становится только тогда, когда процедура розыгрыша проще, а не сложнее аналитического расчета. Приведем пример, когда метод Монте-Карло возможен, но край­не неразумен. Пусть, например, по какой-то цели про­изводится три независимых выстрела, из которых каж­дый попадает в цель с вероятностью 1/2. Требуется найти вероятность хотя бы одного попадания. Элемен­тарный расчет дает нам вероятность хотя бы одного попадания равной 1 — (1/2)³= 7/8. Ту же задачу, в принципе, можно решить и «розыгрышем», статистиче­ским моделированием. Вместо «трех выстрелов» будем бросать «три монеты», считая, скажем, герб — за «по­падание», решку — за «промах». Опыт считается «удачным», если хотя бы на одной из монет выпадет герб. Произведем очень-очень много опытов, подсчитаем общее количество «удач» и разделим на число N про­изведенных опытов. Таким образом, мы получим часто­ту события, а она при большом числе опытов близка к вероятности. Ну, что же? Применить такой прием мог бы разве человек, вовсе не знающий теории вероятно­стей, тем не менее, в принципе, он возможен[1]).

А теперь возьмем другую задачу. Пусть работает многоканальная СМО с очередью, но процесс, проте­кающий в ней, явно немарковский: промежутки между заявками имеют непоказательное распределение, вре­мя обслуживания — тоже. Мало того: каналы время от времени выходят из строя и начинают ремонтиро­ваться; как время безотказной работы канала, так и время ремонта — непоказательные. Требуется найти характеристики СМО: вероятности состояний как функции времени, среднюю длину очереди, среднее время пребывания заявки в системе и т. д. Задача, ка­залось бы, не такая уж сложная. Однако любой чело­век, сколько-нибудь знакомый с теорией массового об­служивания, не колеблясь, выберет для ее решения метод статистического моделирования (перспективы создания обозримой аналитической модели здесь, пря­мо сказать, неважные). Ему придется разыграть мно­жество реализаций случайного процесса (разумеется, на ЭВМ, а не вручную) и из такой искусственной «статистики» найти приближенно интересующие его вероятности (как частоты соответствующих событий) и математические ожидания (как средние арифметиче­ские значений случайных величин).

В задачах исследования операций метод Монте-Карло применяется в трех основных ролях:

1) при моделировании сложных, комплексных опе­раций, где присутствует много взаимодействующих случайных факторов;

2) при проверке применимости более простых, ана­литических методов и выяснении условий их примени­мости;

3) в целях выработки поправок к аналитическим формулам типа «эмпирических формул» в технике.

В § 3 (глава 1) мы уже говорили в общих чертах о сравнительных достоинствах и недостатках анали­тических и статистических моделей. Теперь мы можем уточнить: основным недостатком аналитических моде­лей является то, что они неизбежно требуют каких-то допущений, в частности, о «марковости» процесса. Приемлемость этих допущений далеко не всегда может быть оценена без контрольных расчетов, а производят­ся они методом Монте-Карло. Образно говоря, метод Монте-Карло в задачах исследования операций играет роль своеобразного ОТК. Статистические модели не требуют серьезных допущений и упрощений. В прин­ципе, в статистическую модель «лезет» что угодно — лю­бые законы распределения, любая сложность системы, множественность ее состояний. Главный же недостаток статистических моделей — их громоздкость и трудоем­кость. Огромное число реализаций, необходимое для нахождения искомых параметров с приемлемой точ­ностью, требует большого расхода машинного време­ни. Кроме того, результаты статистического моделиро­вания гораздо труднее осмыслить, чем расчеты по аналитическим моделям, и соответственно труднее оп­тимизировать решение (его приходится «нащупывать» вслепую). Правильное сочетание аналитических и ста­тистических методов в исследовании операций — дело искусства, чутья и опыта исследователя. Нередко ана­литическими методами удается описать какие-то «под­системы», выделяемые в большой системе, а затем из таких моделей, как из «кирпичиков», строить здание большой, сложной модели.