ЛОГИКО-ФИЛОСОФСКИЙ ТРАКТАТ

aRb,
($x): aRx.xRb,
($x, у): aRx xRy yRb,
...

Общий член формального ряда можно выразить только переменной, так как понятие: "член этого формального ряда" является формальным понятием. (Это просмотрели Фреге и Рассел; способ, каким они хотели выразить общие предложения, такие, как, например, вышеприведенные, был поэтому ложным; он содержал circulus vitiosus (порочный круг).
Мы можем определить общий член формального ряда, давая его первый член и общую форму операции, которая образует последующий член из предыдущего предложения.

4.1274. Вопрос о существовании формального понятия бессмыслен. Потому что ни одно предложение не может ответить на такой вопрос (например, нельзя спрашивать:
"Есть ли неанализируемые" субъектно-предикатные предложения (Subjekt-Pradikatsatze)?

4.128. Логические формы нечисленны.
Поэтому в логике нет каких-либо привилегированных чисел и поэтому нет никакого философского монизма или дуализма и т. д.

4.2. Смысл предложения есть его согласование или несогласование с возможностями существования и несуществования атомарных фактов.

4.21. Простейшее предложение, элементарное предложение, утверждает существование атомарного факта.

4.211. Признаком элементарного предложения является то, что ни одно элементарное предложение не может ему противоречить.

4.22. Элементарное предложение состоит из имен. Оно есть связь, сцепление имен.

4.221. Очевидно, что при анализе предложений мы должны доходить до элементарных предложений, которые состоят из непосредственной связи имен. Здесь встает вопрос: как возникает пропозициональная связь?

4.2211. Даже если мир бесконечно сложен, так что каждый факт состоит из бесконечного числа атомарных фактов и каждый атомарный факт из бесконечного числа объектов, - даже тогда должны быть даны объекты и атомарные факты.

4.23. Имя выступает в предложении только в контексте элементарного предложения.

4.24. Имена суть простые символы; я обозначаю их отдельными буквами ("x", "y", "z").
Элементарное предложение я пишу как функцию имен в форме "fx", "Ф (х, у)" и т. д.
Или я обозначаю его буквами р, q, r.

4.241. Если я употребляю два знака с одним и тем же значением, то я выражаю это, ставя между ними знак "=".
Следовательно, "о == &" означает: знак "а" заменим знаком "b". (Если я ввожу с помощью уравнения некоторый новый знак, определяя, что он должен заменить первоначальный известный знак "а", то я пишу уравнение -определение - (как Рассел) в форме "а =b Def.". Определение есть символическое правило.)

4.242. Следовательно, выражения формы "а = b" являются только средством изображения; они ничего не говорят о значениях знаков "а", "b".

4.243. Можем ли мы понять два имени, не зная, обозначают ли они одну и ту же вещь или две различные вещи?
Можем ли мы понять предложение, в которое входят эти два имени,.не зная, обозначают ли они одну и ту же или различные вещи?
Если я, например, знаю значение английского и значение синонимичного ему немецкого слова, то я не смогу не знать, что они синонимы; невозможно, чтобы я не мог перевести их одно в другое.
Выражение вида а == с или выведенные из них не являются ни элементарными предложениями, ни другими осмысленными знаками. (Это будет показано ниже.)

4.25. Если элементарное предложение истинно, то атомарный факт существует; если элементарное предложение ложно, то атомарный факт не существует.

4.26. Указание всех истинных элементарных предложений полностью описывает мир. Мир полностью описывается указанием всех элементарных предложений вместе с указанием того, какие из них истинны, а какие ложны.

4.27. Относительно существования и несуществования п атомарных фактов имеется возможностей.
Могут существовать все комбинации атомарных фактов, и, кроме них, другие комбинации существовать не могут.

4.28. Этим комбинациям соответствует такое же число возможностей истинности и ложности п элементарных предложений.

4.3. Возможности истинности элементарных предложений означают возможности существования и несуществования атомарных фактов.

4.31. Возможности истинности можно изобразить схемами следующего вида ("И" означает "истинно", "Л" - "ложно". Строчки значений "И" и "Л" под строчками элементарных предложений означают в легко понимаемой символике их возможности истинности).

4.4. Предложение есть выражение согласования и несогласования с возможностями истинности элементарных предложений.

4.41. Возможности истинности элементарных предложений есть условия истинности и ложности предложений.

4.411. С первого же взгляда кажется вероятным, что введение элементарных предложений является основополагающим для понимания всех других видов предложения. Действительно, понимание общих предложений весьма ощутимо зависит от понимания элементарных предложений.

4.42. Относительно согласования и несогласования предложения с возможностями истинности п элементарных предложений имеется возможностей.

4.43 Согласование возможностей истинности мы можем выразить, соотнося с ними на схеме знак "И".
Отсутствие этого знака означает несогласование.

4.431. Выражение согласования и несогласования с возможностями истинности элементарных предложений выражает условия истинности предложения.
Предложение есть выражение своих условий истинности.
(Фреге поэтому совершенно правильно помещал их вначале, как объяснение знаков своей логической символики. Только его объяснение понятия истинности ложно: если бы "истинное" и "ложное" были действительно объектами и аргументами в выражениях ~р и т. д., тогда смысл ~р отнюдь еще не устанавливался бы определением Фреге.).

4.44. Знак, возникающий из соотнесения знака "Я" с возможностями истинности, есть пропозициональный знак.

4.441. Ясно, что комплексу знаков "Л" и "И" не соответствует никакой объект (или комплекс объектов); не более-чем горизонтальными вертикальным линиям или скобкам соответствуют какие-либо объекты. Не существует "логических объектов". Аналогично, конечно, и для всех знаков, выражающих то же самое, что и схемы "И" и "Л".

4.442. Так, например:
("Знак утверждения" Фреге "/-" логически полностью бессмыслен; он только указывает у Фреге (и у Рассела), что эти авторы считают отмеченные им предложения истинными. Поэтому "/-" является частью соединения предложений не более, чем, например, номер предложения. Предложение не может утверждать о самом себе, что оно истинно.)
Если последовательность возможностей истинности в схеме устанавливается правилом комбинации раз и навсегда, тогда уже одна последняя колонка является выражением условий истинности. Если мы напишем эту колонку в строчку, то пропозициональный знак будет:
"(ИИ-И} (р, q)" или еще яснее: "(ИИЛИ) (р, q)".
(Количество мест в левых скобках определяется количеством членов в правых.)

4.45. Для "n" элементарных предложений имеется Ln возможных групп условий истинности.
Группы условий истинности, принадлежащие к возможностям истинности некоторого числа элементарных предложений, могут упорядочиваться в ряд.

4.46. Среди возможных групп условий истинности имеется два предельных случая.
В первом случае предложение истинно для всех возможностей истинности элементарного предложения. Мы говорим, что условия истинности тавтологичны.
Во втором случае предложение ложно для всех возможностей истинности. Условия истинности противоречивы.
В первом случае мы называем предложение тавтологией, во втором - противоречием.

4.461. Предложение показывает то, что оно говорит, тавтология и противоречие показывают, что они ничего не говорят.
Тавтология не имеет условий истинности, потому что она безусловно истинна; а противоречие ни при каких условиях не истинно.
Тавтология и противоречие не имеют смысла. (Как точка, из которой две стрелки расходятся в противоположных направлениях.)
(Я не знаю, например, ничего о погоде, если я знаю, что дождь идет или что дождь не идет.)

4.4611. Но тавтология и противоречие не являются бессмысленными, они являются частью символизма, подобно тому как "О" есть часть символизма арифметики.

4.462. Тавтология и противоречие-не образы действительности. Они не изображают никакого возможного положения вещей, поскольку первая допускает любое возможное положение вещей, а второе не допускает никакого.
В тавтологии условия соответствия с миром -отношения изображения-взаимно аннулируются, так что они не стоят ни в каком отношении изображения к действительности.

4.463. Условия истинности определяют область, которую предложение оставляет факту.
(Предложение, образ, модель напоминают в отрицательном смысле твердое тело, которое ограничивает свободу движения другого; в положительном смысле- пространство, ограниченное твердой субстанцией, в котором помещается тело.)
Тавтология оставляет действительности все бесконечное логическое пространство, противоречие заполняет все логическое пространство и.ничего не оставляет действительности. Поэтому ни одно из них не может каким-либо образом определить действительность.

4.464. Истинность тавтологии несомненна; предложение возможно, противоречие невозможно.
(Несомненно, возможно, невозможно: здесь мы имеем указание той градации, которую мы употребляем в теории вероятностей.)

4.465. Логическое произведение тавтологии и предложения говорит то же самое, что и предложение. Следовательно, это произведение тождественно с этим предложением. Потому что нельзя изменить существа символа, не изменяя его смысла.

4.466. Определенной логической комбинации знаков соответствует определенная логическая комбинация их значений. Любая, же произвольная комбинация соответствует только несвязанным знакам.
Это означает, что предложения, которые истины для любого положения вещей, вообще не могут быть никакими комбинациями знаков, так как иначе им могли бы соответствовать только определенные комбинации объектов.
(И нет такой логической комбинации, которой не соответствует никакая комбинация объектов.)
Тавтология и противоречие являются предельными случаями комбинации знаков, а именно - их исчезновением.

4.4661. Разумеется, и в тавтологии, и в противоречии знаки также сочетаются друг с другом, т. е. они относятся друг к другу, но эти отношения незначимы, несущественны для символа.

4.5. Теперь, кажется, можно дать самую общую форму предложения, т. е. дать описание предложений некоторого знакового языка, так чтобы каждый возможный смысл мог выражаться символом, который подходит под это описание,.и так чтобы каждый символ, подходящий под это описание, мог выражать смысл, если соответствующим образом будут выбраны значения имен.
Ясно, что при описании самой общей формы предложения может быть описано только ее существо - иначе она не была бы собственно самой общей формой.
То, что имеется общая форма предложения, доказывается тем, что не может быть ни одного предложения, чью форму нельзя было бы предвидеть (т. е. сконструировать). Общая форма предложения такова: "дело обстоит так-то и так-то".

4.51. Предположим, мне даны все элементарные предложения; тогда можно просто спросить: какие предложения я могу построить из них? И это - все предложения, и так они ограничиваются.

4.52. Предложениями является все то, что следует из совокупности всех элементарных предложений конечно, также и из того, что это есть совокупность их всех}. (Так, можно, в известном смысле, сказать- что все предложения - обобщения элементарных предложений.)

4.53. Общая форма предложения есть переменная.

5. Предложение есть функция истинности элементарных предложений.
(Элементарное.предложение - функция истинности самого себя.)

5.01. Элементарные предложения-аргументы истинности предложения.

5.02. Само собой напрашивается смешение аргументов функции с индексами имен. Я узнаю значение знака настолько же из его аргумента, насколько и из его индекса.
В расселовском +с, например, "с" есть индекс, указывающий на то, что весь знак есть знак сложения количественных чисел. Но этот способ символизации основывается на произвольном соглашения, и можно было вместо +с выбрать другой простой знак, но в выражении "~р" "р" - не индекс, а аргумент: смысл выражения "~р" не может быть понят, если до этого не понят смысл "р". (В имени Юлий Цезарь "Юлий" есть индекс. Индекс всегда является частью описания объекта, к имени которого мы его присоединяем. Например, Цезарь из рода Юлиев.)
Смешение аргумента и индекса, если я не ошибаюсь, лежит в основе теории Фреге о значении предложений и функций. Для Фреге предложения логики были именами, а их аргументы - индексами этих имен.

5.1. Функции истинности можно упорядочивать в ряд.
Это есть основоположение теории вероятностей.

5.101. Функции истинности каждого определенного количества элементарных предложений могут быть написаны в схеме следующего вида.
Те возможности истинности аргументов истинности этой схемы, которые подтверждают предложение, я буду называть основаниями истинности.

5.11. Если основания истинности, общие для некоторого количества предложений, представляют -в то же время основания истинности некоторого определенного предложения, то мы говорим, что истинность этого предложения следует из истинности упомянутых предложений.

5.12. В частности, истинность предложения "p" следует из истинности другого - "q", если все основания истинности второго являются основаниями истинности первого.

5.121. Основания истинности одного содержатся в основаниях истинности другого; р следует из q.

5.122. Если р следует из q, то смысл "р" содержится в смысле "q".

5.123. Если бог создает мир, в котором истинны некоторые определенные предложения, то он тем самым создает мир, в котором верны предложения, следующие из них. И подобно этому, он не мог бы создавать такого мира, в котором предложение "р" было бы истинно, не создавая всей совокупности его объектов.

5.124. Предложение утверждает каждое предложение, следующее из него.

5.1241. "p.q" есть одно из тех предложений, которые утверждают "р" и которые в то же время утверждают "q".
Два предложения друг другу противоположны, если нет осмысленного предложения, которое утверждает их обоих.
Каждое предложение, которое противоречит другому, отрицает его.

5.13. Тот факт, что истинность одного предложения следует из истинности других предложений, мы усматриваем из структуры предложений.

5.131. Если истинность одного предложения следует из истинности других, то это выражается теми отношениями, в которых находятся между собой формы этих предложений; и мы не нуждаемся в том, чтобы ставить их в эти отношения, связывая предварительно друг с другом в одно предложение, так как эти связи являются внутренними и существуют постольку, и лишь постольку, поскольку существуют эти предложения.

5.1311. Если мы заключаем от р V q и ~р к q, то отношение между формами предложений "p\/q" и "~р" здесь затемняется способом обозначения. Но если мы, например, вместо "pVq" напишем "р / q -/- р / q и вместо "~р" - "~p/р" (р/q==ни р, ни q), тo внутренняя связь станет очевидной.
(Тот факт, что можно заключить от (x)fx к fa, показывает, что общность существует также и в символе "(x)fx".)

5.132. Если р следует из q, то я могу заключить от q к р; вывести р из q.
Способ вывода всегда познается из обоих предложений.
Только они могут оправдывать вывод.
"Законы вывода", которые должны - как у Фреге и Рассела - оправдывать выводы, не имеют смысла и были бы излишни.

5.133. Все выводы происходят априори.

5.134. Из одного элементарного предложения не может следовать никакое другое.

5.135. Никаким образом нельзя заключать из существования какого-либо одного положения вещей о существовании другого, полностью отличного от первого.

5.136. Нет причинной связи, которая оправдывает подобный вывод.

5.1361. События будущего не могут выводиться из событий настоящего.
Вера в причинную связь есть предрассудок.

5.1362. Свобода воли состоит в том, что будущие действия сейчас не могут быть познаны. Мы могли бы их знать только в том случае, если причинность была бы внутренней, необходимостью, как и необходимость логического вывода. Связь здания и познанного есть связь логической необходимости.
("А знает, что р имеет место" не имеет смысла, если р есть тавтология.)

5.1363. Если