Настенный кронштейн, с подушками для опорных призм физического маятника.

 

1 – призма 1

2 – призма 2

3 – груз, закрепленный на шкале

4 – подвижный груз.

М – кронштейн

А – физ. маятник

С, D – грузы

B1, B2 – призмы

d1, d2 – расстояние до центра масс

 

3. Основные теоретические положения к данной работе (основополагающие утверждения: формулы, схематические рисунки):

 

Физическим маятником называется любое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр инерции тела. Всегда можно подобрать математический маятник, синхронный данному физическому, т. е. такой математический маятник, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника. Длина такого математического маятника называется приведенной длиной физического маятника.

Выведем формулу периода колебаний физического маятника. На рис. 4 точка О — обозначает горизонтальную ось вращения, точка В — центр тяжести физического маятника. Следует отметить, что в однородном поле сил тяжести центр инерции тела и его центр тяжести совпадают.

Относительно оси вращения сила тяжести создает вращающий момент, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия. Численное значение этого момента определяется соотношением

(1)

где m— масса физического маятника, d— кратчайшее расстояние от оси вращения до центра тяжести маятника, —угловое перемещение тела, отсчитываемое от положения равновесия. При малых угловое перемещение можно рассматривать как вектор, лежащий на оси вращения, направление которого связано с направлением поворота тела из положения равновесия в заданное правилом правого винта.

Учитывая, что векторы и антипараллельны, следует величинам проекций вращающего момента и углового перемещения на ось вращения приписать противоположные знаки. Тогда формула (1) примет вид

 

. (1а)

При малых углах можно принять , если выражено в радианах, и записать формулу (1а) следующим образом

. (2)

 

Используем основной закон динамики вращательного движения тела относительно неподвижной оси, записав его в проекциях на ось вращения:

(3)

где J — момент инерции тела относительно оси вращения, а —угловое ускорение, причем .

Подставляя в формулу (3) момент силы из формулы (2), получим уравнение движения маятника

. (4)

Решение полученного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно записать в виде

, (5)

где , а и —постоянные, определяемые начальными условиями.

 

Величины и называют соответственно амплитудой и фазой колебания, а a₀ —начальной фазой. Уравнение (5) является уравнением гармонического колебательного движения, а величина w₀ собственной циклической частотой колебания. По истечении времени фаза получает приращение , а тело возвращается в исходное положение с сохранением направления движения. Величина

T ₀ называется собственным периодом колебания. Таким образом, период колебания физического маятника определяется формулой

(6)

Известно, что период колебаний математического маятника записывается в виде

.

Сравнивая эту формулу с формулой (6), делаем вывод, что математический маятник будет иметь тот же период колебаний, что и данный физический, если длина математического маятника

. (7)

Это и есть формула приведенной длины физического маятника.

Прибор, используемый в данной работе, представляет собой настенный кронштейн, на котором смонтированы подушки для опорных призм физического маятника. На том же кронштейне подвешен математический маятник, длину которого можно изменять, наматывая нить на соответствующий барабанчик. Физический маятник представляет собой цилиндрический стержень (рис. 5), на котором жестко закреплены две призмы 1 и 2. На стержне находятся также два тяжелых груза 3 и 4 в форме чечевиц, один из которых (3) закреплен, а другой может перемещаться по шкале и закрепляться в нужном положении. Расстояние между опорными призмами равно 0,730 м. Масса маятника m= 10,55 кг (Δ m =0,01 кг).

Один из методов определения момента инерции маятника относительно оси, проходящей через опорную призму, сводится к определению периода колебаний T маятника относительно этой оси, массы m и расстояния d от центра тяжести до оси (см. формулу (6) для ). В этом случае момент инерции маятника вычисляется по формуле

. (8)

Положение центра тяжести определяется с помощью дополнительной призмы балансировки.

Кроме этого метода, на практике часто используется метод определения момента инерции по приведенной длине физического маятника. Приведенную длину находят из опыта, подбирая такой математический маятник, который колеблется синхронно с данным физическим. Определив длину математического маятника находят момент инерции по формуле

(9)

 

4. Таблицы и графики [1].

 

Таблица 1 Определение периода колебаний маятника

Положение оси вращения	Расстояние от оси вращения до центра тяжести d,м	Время 10 колебаний, с	tср, с	Среднее значение периода колебаний Тср,с
Призма 1
Призма 2

 

Таблица 2 Определение приведённой длины физического маятника

Положение оси вращения	Расстояние от шарика до точки подвеса, м	Радиус шарика, м	,м
Призма 1
Призма 2

 

 

Таблица 3 Расчёт момента инерции физического маятника

Положение оси вращения	Момент инерции физического маятника J, кг·м2
	по методу колебаний	по методу приведенной длины
Призма 1
Призма 2

 

 

Таблица 4 Определение погрешностей измерения

Положение оси вращения				кгм2 (метод колебаний)	J кгм2 (метод приведенной длины)
Призма 1
Призма 2

5. Расчёт погрешностей измерений

(указать метод расчёта погрешностей).

 

1. Найти и сравнить систематическую и случайную ошибки определения t. Случайную ошибку вычислить по формуле

.

Для доверительной вероятности P =0.95 и числа измерений N =5, a =2.8.

Систематическая ошибка определяется классом точности прибора и ошибкой, связанной с конечной скоростью реакции человека, которую можно принять равной 0,1с. В нашем случае непосредственно приборной ошибкой можно пренебречь по сравнению с этой величиной и считать систематическую ошибку равной Δt_сист 0,1с, а полную ошибку рассчитать по формуле

Dt=ÖDt²_сист+D t²_случ.

2. Рассчитать и занести в таблицу 4 относительные ошибки определения величин t, m и d.

3. Рассчитать максимальную абсолютную ошибку определения момента инерции по формуле

.

Результат определения момента инерции с указанием абсолютной ошибки занести в таблицу 4.

Примечание. Значения величин g и p известны с большой точностью, и следовательно относительные ошибки, вносимые округлением этих величин, могут быть сделаны как угодно малыми, т. е. заведомо меньшими, чем ошибки измерения остальных величин m, d, t. Практически это означает, что при вычислениях значения g и p достаточно принять равными 9,81 м/с² и 3,14 соответственно.

 

6. Окончательные результаты:

 

Подпись студента:

 

 

 

Лист – вкладыш

 

5. Расчёт погрешностей измерений (продолжение):