Итак, доказано, что

,

откуда вытекает, что

,

что и требовалось доказать.

Из (1.6) вытекает, что

,

что и требовалось доказать.

Упорядоченной -кой называется запись вида

.

Замечание 1.10. Содержательно, эта запись означает, что элемент записан на -м месте, элемент – на -м месте, …, элемент – на -м месте, т.е. элементы записаны в фиксированном порядке. Таким образом, понятие упорядоченная -ка – это аналог классического понятия вектор, заданный своими координатами в математике (в отличие от вектора компоненты упорядоченной -ки – элементы любого, не обязательно числового, множества) или понятия список, содержащий элементов в программировании.

Декартовым произведением множеств (обозначается ) называется множество, состоящее из всех упорядоченных -ок , где , , … , т.е.

.

Если , то множество

называется -й декартовой степенью множества и обозначается . По определению полагают

, .

Важный специальный случай декартового произведения имеет место при . Запись называется упорядоченной парой, а декартово произведение двух множеств и определяется равенством

. (1.30)

Декартово произведение двух множеств можно представить графически (см. рис. 1.3). Для этого от одной и той же точки откладывают горизонтальный и вертикальный отрезки и на них, как на сторонах, строится прямоугольник. Горизонтальный отрезок представляет множество , а вертикальный отрезок – множество . В соответствии с (1.30), декартово произведение представляется частью плоскости, ограниченной построенным прямоугольником (включая его границу), т.е. элементы множества представляются точками плоскости, а пара интерпретируется как координаты соответствующей точки.

Замечание 1.11. С математической точки зрения в настоящем пункте построена алгебра. Одно из центральных понятий современной математики – алгебра – формально определяется как упорядоченная пара , где – множество элементов (носитель алгебры ), а – множество операций (сигнатура алгебры ). Элемент называется - арной (возможно, частичной) операцией , если каждой упорядоченной -ке , поставлен в соответствие однозначно определенный элемент – результат операции (это свойство – замкнутость операции на множестве ). 1-арную, 2-арную и 3-арную операции называют, соответственно, унарной, бинарной и тернарной операциями. Иногда в множестве выделяют некоторые элементы. Их называют -арными операциями. Таким образом, упорядоченная пара – алгебра множеств ( – универсальное множество).

Упорядоченная пара – подалгебра алгебры , если , и каждая операция замкнута на множестве . Подалгебра алгебры множеств – булева алгебра множеств – представляет собой специальный случай следующего общего математического понятия. Алгебра – булева (, – бинарные, а ~ – унарная операции), если выполнены следующие условия ():

, (коммутативность);

, (ассоциативность);

, (дистрибутивность);

, (идемпотентность);

(совместимость);

существуют такие элементы , что для всех

, , , .

для каждого существует такой элемент ( – дополнение элемента ), что

, .

Все остальные свойства операций, и ~, аналогичные свойствам операций, и для множеств, могут быть выведены формальными методами (т.е. доказаны, как теоремы) из перечисленных выше свойств 1)-7).