Введение. 1. Основні поняття. Деякі властивості збіжних рядів.

2. Достатні ознаки збіжності для рядів з додатними членами.

Теорема 2. Якщо члени збіжного ряду (9.1) помножити на сталий множник с, то його збіжність не порушиться, а сума (9.3) помножиться на це число с:

.

Теорема 3. Збіжні ряди і можна почленно додавати або віднімати, при цьому ряд також збігається, а його сума буде .

Теорема 4. Послідовність частинних сум збіжного ряду обмежена. Це твердження випливає зі збіжності послідовності частинних сум ряду.

Теорема 5. Якщо ряд збігається, то границя його загального члена прямує до 0, тобто: .

Наслідок. Якщо , тобто необхідна умова збіжності ряду не виконується, то ряд розбігається.

Приклад: Перевірити виконання необхідної умови збіжності для ряду . Загальний член ряду . Розглянемо . Необхідна умова збіжності ряду не виконується. Ряд розбігається.

2. Достатні ознаки збіжності для рядів з додатними членами

Розглянемо ряд з додатними членами . Частинні суми ряду (9.2) утворюють при цьому монотонно зростаючу послідовність .

Теорема 6 (основна). Для того щоб ряд з додатними членами збігався, необхідно і достатньо, щоб усі його частинні суми були обмеженими.

Наслідок. Для того щоб ряд з додатними членами розбігався, необхідно і достатньо, щоб послідовність його частинних сум була необмеженою.

Теорема. 7 (ознака порівняння рядів). Якщо для рядів з додатними членами:

(10.6)

(10.7)

виконується умова то:

а) із збіжності ряду (10.7) випливає збіжність ряду (10.6);

б) із розбіжності ряду (10.6) випливає розбіжність ряду (10.7).

Означення. Якщо для рядів 10.6), (10.7) виконується умова , то ряд (10.7) називається мажорантним відносно ряду (10.6), а ряд (10.6) — мінорантним відносно ряду (10.7).

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

l Загальний член ряду . Зауважимо, що

.

Ряд порівняння збігається як ряд геометричної прогресії із . Значить, за ознакою порівняння (теорема 10.7) ряд — збігається.

Теорема 8 (ознака порівняння в граничній формі). Якщо для рядів з додатними членами (10.6), (10.7) існує границя , то ряди (10.6) і (10.7) збігаються або розбігаються разом.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

l Загальний член ряду являє собою алгебраїчний вираз. Для того щоб цілеспрямовано вибрати ряд порівняння, побудуємо величину, еквівалентну при . Вибираємо ряд порівняння — гармонічний ряд, він є розбіжним. Обчислюємо

За ознакою порівняння (теорема 9.8) буде розбіжним і ряд

.

Теорема 9 (ознака Даламбера). Якщо для ряду з додатними членами існує границя тоді:

при ряд збігається;

при ряд розбігається;

при питання про збіжність ряду ознака не вирішує.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

l Загальний член ряду . Побудуємо і розглянемо . За ознакою Даламбера ряд збігається.

Теорема 10 (ознака Коші (радикальна)). Якщо для ряду з додатними членами існує границя , тоді:

при ряд збігається;

при ряд розбігається;

при питання про збіжність ряду ознака не вирішує.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

l Загальний член ряду .

.

За ознакою Коші (теорема 9.10) ряд збігається.

Теорема 11 (ознака Коші (інтегральна)). Якщо функція неперервна, додатна і монотонно спадає при то ряд і невластивий інтеграл збігаються або розбігаються разом.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд Діріхле (узагальнений гармонічний ряд)

(10.8)

l Загальний член ряду . Побудуємо функцію :

.

Збіжність інтегралу Діріхле встановлено в 7.3.1, таким чином, за теоремою 10.11

.

У частинному випадку при р =1 маємо гармонічний ряд який, як тепер встановлено, буде розбіжним.

3. Рекомендації щодо використання ознак збіжності рядів з додатними членами

1. Ознака Даламбера, як правило, дає результати тоді, коли загальний член ряду є відношенням алгебраїчного і трансцендентного виразів або відношенням трансцендентних виразів.

Якщо загальний член ряду — алгебраїчний вираз, то ознака Даламбера питання про збіжність не вирішує.

2. Радикальна ознака Коші зручна в тому випадку, коли загальний член ряду містить степенево-показниковий вираз.

3. Інтегральна ознака Коші використовується тоді, коли функція загального члена ряду легко інтегрується.

4. Ознака порівняння рядів може бути використана для рядів з будь-яким загальним членом. При дослідженні ряду за допомогою ознаки порівняння треба вибрати ряд порівняння, збіжність чи розбіжність якого відома. Рядами порівняння зручно вибирати ряд геометричної прогресії (9.6) або ряд Діріхле (10.8).

5. Якщо загальний член ряду — алгебраїчний вираз, тоді для дослідження збіжності ряду зручно використовувати ознаку порівняння рядів у граничній формі (теорема 3), як це було показано на прикладі.

6. При дослідженні збіжності рядів рекомендується така послідовність дій: 1) встановити тип ряду (знакододатний чи знакозмінний); 2) перевірити виконання необхідної умови збіжності;
3) використати одну із достатніх ознак збіжності.

Приклад. Дослідити збіжність ряду .

1) ряд знакододатний.

2)
необхідна умова збіжності виконується (ряд може бути як збіжним, так і розбіжним).

3) Використаємо достатню ознаку збіжності Даламбера. Побудуємо ряд за ознакою Даламбера збігається.

4.Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність знакозмінних рядів

Означення. Ряд називається знакозмінним, якщо він містить нескінченне число як додатних, так і від’ємних членів.

Теорема 12 (Коші). Якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду, то збігається і знакозмінний ряд, тобто

Означення. Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду.

Означення. Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо цей ряд збігається, а ряд із абсолютних величин його членів розбігається.

Зауваження. Якщо знакозмінний ряд збігається абсолютно, то його збіжність зумовлена достатнім спаданням за абсолютною величиною його членів.

Зауваження. Якщо знакозмінний ряд збігається умовно, то його збіжність зумовлена не тільки спаданням за абсолютною величиною його членів, але і взаємною компенсацією додатних і від’ємних членів ряду.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

l Загальний член ряду залежно від n може бути як додатним, так і від’ємним. Отже, ряд — знакозмінний. Побудуємо ряд із абсолютних величин членів даного: . Цей ряд буде знакододатним , так що для дослідження його на збіжність можна використати ознаки збіжності знакододатних рядів. Скористаємось ознакою порівняння рядів: — ряд порівняння, він збігається, як ряд Діріхле, з p = 2 > 1. Отже, за ознакою порівняння (теорема 10.7) ряд збігається, а це означає, що за теоремою Коші збігається і ряд , причому збігається абсолютно.

5.Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца

Означення. Ряд, кожний член якого відрізняється знаком від попереднього, називається знакопочерговим. Цей ряд має вигляд:

(10.9)

Загальний член ряду (10.9) де .

Теорема 13 (Лейбніца). Якщо члени знакопочергового ряду спадають за абсолютною величиною і границя абсолютної величини загального члена ряду дорівнює нулю, то ряд збігається. Коротко цю теорему можна записати так:

Наслідок 1. Знак суми збіжного знакопочергового ряду такий само, як і знак першого члена ряду (на рис. 10.1 ).

Геометрична інтерпретація

Рис. 10.1

Наслідок 2. Якщо знакопочерговий ряд збігається, то його сума за абсолютною величиною не перевищує першого члена ряду, тобто (на рис. 9.1) 0< S < a ₁).

Наслідок 3. Якщо при обчисленні суми збіжного знакопочергового ряду обмежитись тільки першими n членами, а всі інші відкинути, то похибка за абсолютною величиною не перевищить першого із відкинутих членів, тобто .

Наслідок 4. Якщо для ряду не виконується умова теореми Лейбніца , то ряд розбігається (не виконується необхідна умова збіжності).

Приклад. Дослідити збіжність ряду Лейбніца

Загальний член ряду почергово змінює знак, отже, ряд Лейбніца — знакопочерговий. Обидві умови теореми Лейбніца для цього ряду виконуються:

1)

2) .

Таким чином, ряд Лейбніца буде збіжним, але збіжність умовна, бо ряд із абсолютних величин: — гармонічний ряд, що розбігається.

ФИЗИКА

методи­ческие указания и контрольные работы для студентов заочного отделения.

Череповец, филиал ВоГТУ

Введение

Выполнение контрольных заданий по дисциплине «Физика» способствует развитию у студентов навыков практического применения полученных ранее теоретических знаний. Контрольные задания предложены для выполнения двух контрольных работ (Т. И. Трофимова., Сборник задач по курсу физики с решениями: Учеб. пособие для вузов/ Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова.- 5-е изд., стер,- М.: Высшая шк., 2004.-591 с.: ил.)

В объем контрольных заданий входят семь разделов: 1.ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ; 2.ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ; 3.ЭЛЕКТРИЧЕСКТВО И МАГНЕТИЗМ; 4.КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ; 5.ОПТИКА. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ; 6. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ, МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ; 7.ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ. Контрольная работа №1: разделы 1,2, 3,4,5,6,7– пять задач. Контрольная работа № 2.: разделы 1,2,3,4,5,6,7- пять задач.

Номер варианта выбирается по последней цифре шифра.

При решении задач необходимо, прежде всего, установить, какие законо­мерности лежат в основе. Затем, с помощью формул, выражающих эти законо­мерности, следует найти решение задач в общем виде (т.е. в буквенных обозна­чениях), причем искомая величина должна быть выражена через заданные ве­личины. После этого можно перейти к подстановке числовых данных, выра­женных обязательно в одной и той же системе единиц. При решении задач следует пользоваться единицами измерения физических величин, приведенны­ми в Системе Интернациональной (СИ). Числовой ответ обязательно должен иметь наименование единиц измерения (размерность).

При получении числового ответа следует обращать внимание на точность окончательного результата, которая не должна превышать точности исходных величин. Большую часть задач достаточно решить с точностью до двух-трех знаков после запятой.

Необходимые для решения задач справочные данные чаще всего указаны в условиях. Если же таковых нет, то необходимо воспользоваться справочной литературой, приведенной в конце методических указаний.

Номера задач для выполнения контрольных заданий № 1,2 по дисциплине «Физика»

{Т. И. Трофимова., Сборник задач по курсу физики с решениями: Учеб. пособие для вузов/ Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова.- 5-е изд., стер,- М.: Высшая шк., 2004.-591 с.: ил.Ч. Киттель, У. Найт, М. Рудерман Берклеевский курс физики. Т. 1. Механика.- М.: Наука, 1971 }

Список литературы

В список литературы включены два известных справочника, учебник Трофимовой и задачник Волькенштейна. Эти издания рекомендуется использовать также в качестве справочных пособий.

Основная:

1. И. В. Савельев Курс общей физики в 5-ти кн. Кн 1. Механика, М.: Наука, 1998.

2. И. В. Савельев Курс общей физики в 5-ти кн. Кн 3. Молекулярная физика и термодинамика, М.: Наука, 1998.

3. И. В. Савельев Курс общей физики в 3-х т. Т 1. Механика. Молекулярная физика. М.: Наука, 1998.

4. И. Е. Иродов Основные законы механики.-М: Высшая школа, 1985. (и более поздние издания).

5. А. Г. Чертов, А. А. Воробьев Задачник по физике. Изд-е 5-е: М: Высшая школа, 1988. Изд-е 7-е: Физматлит, 2002.

Дополнительная:

6. Д. В. Сивухин Общий курс физики в 5-ти т. Т. 1. Механика.- 2002.

7. Д. В. Сивухин Общий курс физики в 5-ти т. Т. 2. Термодинамика и молекулярная физика.- 2002.

8. Т. И. Трофимова Курс физики.- М.: Высшая школа 1990

9. Г. А. Зисман, О. М. Тодес Курс общей физики в 2-х т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. Колебания и волны.

10. С. Э. Фриш, А. В. Тиморева Курс общей физики в 3-х тт. Т. 1. Физматлит, 1962.

11. И. П. Базаров Термодинамика.- М: Высшая школа, 1983.

12. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс Фейнмановские лекции по физике. Т.1. Современная наука о природе. Законы механики.- М.: Мир, 1967.

Т. И. Трофимова., Сборник задач по курсу физики с решениями: Учеб. пособие для вузов/ Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова.- 5-е изд., стер,- М.: Высшая шк., 2004.-591 с.: ил.Ч. Киттель, У. Найт, М. Рудерман Берклеевский курс физики. Т. 1. Механика.- М.: Наука, 1971

14. В. С. Волькенштейн Сборник задач по общему курсу физики- М.: Наука, 1990

15. А. Н. Матвеев Механика и теория относительности.- М.: Высшая школа, 1985.

16. М. Борн Эйнштейновская теория относительности.- М.: МИР, 1964.

17. И. Е. Иродов Задачи по общей физике.- М.: 1997