Э Л Е К Т Р О М А Г Н И Т Н Ы Е Я В Л Е Н И Я 7 страница

. (7.9)

Угол дает разность фаз между напряжением U и силой тока I. По векторной диаграмме (см. также выражение (7.7)) находим:

, (7.10)

где - полное сопротивление цепи, а ωL-(1/ωC) - реактивное сопротивление. Х_L = ωL и Х_c = 1/ωC называют индуктивным и емкостным сопротивлением соответственно. Смысл названия "полное сопротивление" в том, что амплитудные значения U_m и I_m связаны между собой соотношением, подобным закону Ома: I_m = U_m/Z. Из соотношения (7.10) видно, что при амплитуда тока I_m достигает максимального значения I_{m max} = U_m/R, а угол φ = O. Кривую зависимости I_m от ωназывают резонансной кривой, а частоту , при которой I_m=I_{m max}, резонансной частотой. Чем меньше R, тем больше I_m при резонансе и тем острее резонансная кривая (рис.7.3.а).

а)	б)
Рис.7.3

Таким образом, резонансная частота для тока в контуре не зависит от активного сопротивления R и совпадает с собственной частотой контура:

. (7.11)

Так как U_R и ток в цепи изменяется синфазно, то ясно, что амплитуда U_Rm будет максимальной при ω = ω_р. При этом U_Rm = U_m. Для U_cm и U_Lm с учетом выражений (7.5) и (7.10) имеем:

. (7.12)

При получаем:

и (7.13)

Величину (7.14)

называют добротностью контура. Таким образом, добротность контура показывает, во сколько раз амплитуда U_cm и U_Lm превышает амплитуду U_m, приложенного к цепи напряжения при ω=ω_p.

На рис. 7.3.б показана зависимость U_cm от частоты ω при разных R, максимальные амплитуды U_cm и U_Lm (U_m считаем постоянной) и со- ответствующие резонансные частоты ω_cр и ω_cL найдем, дифференцируя по w выражения для U_cm и U_Lm (7.12) и решая уравнения

, . (7.15)

В результате получим следующие значения для резонансных частот:

, (7.16)

(7.17)

На рис.7.4 показана зависимость U_Rm, U_Lm и U_Cm от частоты w. При w = w_р U_Rm = U_m, а U_Lm = U_Cm = QU_m. U_Cm имеет максимум при w_cр<w_р, а U_Lm при w_Lр>w_р.

Рис.7.4

Добротность контура Q характеризует остроту резонансных кривых. Чтобы убедиться в этом, вычислим так называемую ширину резонансной кривой для силы тока по половине мощности. Под этой величиной понимают разность частот ∆ω (или ∆ν), для которой Jm2 составляет 0,5 от Imрез2. На рис.7.3,а Im = 0,7Imрез. При резонансе Im2рез= Um2/R2 (cм.выражение (7.1)).

(I_m/I_mрез)² = 0,5 при (ωL - 1/ωC)² = R².

Это уравнение имеет два корня w₁ и w₂ (см.рис.7.3.а). Проведя необходимые выкладки, можно убедиться, что при больших добротностях

(7.18)

Соотношение (7.18) дает возможность экспериментального определения добротности Q по резонансной кривой силы тока в контуре.

 

7.2. Описание установки

 

Принципиальная схема установки показана на рис.7.5.

Для возбуждения колебаний в контуре, образованном сопротивлением R, емкостью С и индуктивностью L (величины даны на установке), со звукового генератора (ЗГ) подается переменное напряжение.

Рис.7.5

Цифровой вольтметр (ЦВ) регистрирует амплитуды колебания напряжения на емкости и на индуктивности. Для удобства соединения ЦВ с L и С используется переключатель П. Миллиамперметр (mА) служит для измерения тока в контуре. Необходимо помнить, что приборы показывают эффективные

значения тока и напряжения, которые связаны с амплитудными значениями следующими соотношениями:

,

Осциллограф (ОС) используется для визуального наблюдения изменения частоты вынужденных колебаний и амплитуды напряжения на емкости и индуктивности. Исследуемый контур подключается к ЗГ, mА, ЦВ и ОС с помощью шнуров, имеющих на конце по два штекера.

 

7.3. Задание и отчетность

 

1) Собрать схему согласно рис.7.5. Начальное положение ручек приборов указано на рабочем месте. Там же приведены все необходимые данные.

2) При заданных значениях L и С рассчитать резонансную частоту.

3) Снять резонансные кривые I_m = I_m(n), U_cm = U_cm(n), U_Lm = U_Lm(n) для двух значений R при постоянном выходном напряжении ЗГ. При этом следует учитывать сопротивление амперметра и активное сопротивление катушки. Отсчет частоты по шкале ЗГ следует делать через 5 Гц вблизи резонансной частоты и через 10 Гц вдали от нее.

4) Построить кривые I_m= I_m(n) для обоих значений R на одном графике, определить по графикам n_р и сравнить ее с расчетной. Убедиться, что n_р зависит только от L и С.

5) Построить аналогичные кривые для U_cm и U_Lm также на одном рисунке. Определить по графикам n_cр, n_Lр и n_р. Убедиться, что n_cр и n_Lр зависят от величины R при фиксированных L и C.

6) Определить добротность контура Q₁ и Q₂ при значениях R₁ и R₂ согласно соотношению (7.14).

7) Дополнительное задание. Определить добротность контура Q₁ и Q₂ при R₁ и R₂ из графиков I = I(n) по формуле (7.18). Сравнить полученные значения с результатами, полученными в п.6.

 

 

7.4. Контрольные вопросы

 

1. Какие колебания называют вынужденными? Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и решите его.

2. От чего зависит амплитуда вынужденных колебаний? Что называется резонансом? Какова его роль?

3. Как определяются резонансные частоты n_р, n_cр и n_Lр?

4. Нарисуйте и объясните векторную диаграмму для цепи с последовательным включенным резистором, катушкой индуктивности и конденсатором.

5. Чему равно полное сопротивление контура? От чего зависит индуктивное сопротивление, емкостное сопротивление?

6. Что показывает добротность контура и как ее определяют?

 

Литература. [1, §§ 22.1, 22.2; 2, §§ 51; 3, §§ 91]

 

8. ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА

Цель работы: изучение колебаний струны с закрепленными концами; исследование зависимости скорости распространения поперечных колебаний в струне от ее натяжения.

Приборы и принадлежности: закрепленная на штативе струна, чашка для грузов, набор разновесов, генератор ГЗ-33, постоянный магнит, линейка, микрометр.

 

8.1. Теоретические сведения

 

Рассмотрим струну, закрепленную с одного конца (рис.8.1). Если свободный конец струны (х = 0) смещать вдоль оси y по гармоническому закону у = Аsinwt, где А - амплитуда колебаний, w = 2p/T - циклическая частота (Т - период колебаний), то вследствие взаимодействия между частицами струны колебания начнут распространяться вдоль струны с некоторой скоростью u. При этом частицы струны в точках x будут совершать поперечные колебания по закону

y₁(x,t) = A sin [ t - (x / u) ],

 

где отношение x/u дает время, на которое колебания в точке х запаздывают относительно колебаний частиц в точке x = О.

Рис.8.1

Рис.8.2

Процесс распространения колебаний называют волной. Расстояние l, которое волна проходит за период Т, называют длиной волны:

l = u Т.

На рис.8.2.а показана струна в момент, когда возмущение (в данном случае оно имеет вид полуволны) дошло до закрепленного конца. Если бы струна продолжалась дальше, то "горбик" продолжал бы двигаться вправо, оставаясь при этом сверху. На рис. 8.2.б показана струна (ее конфигурация) еще через 1/2 Т. После отражения "горбик" бежит в обратном направлении, находясь уже снизу. Последнее означает изменение фазы колебания (аргумента синуса) на p

Уравнение отраженной волны имеет вид

y₂(x,t) = Asin{w[t -(2L - x)/u -p]} = - Asinw[t-(2L - x)/u].

Отношение (2L - x)/u равно времени, которое требуется волне, чтобы пройти от свободного конца до точки закрепления и вернуться в точку x.

В соответствии с принципом суперпозиции результирующие колебания частиц струны в точке x найдем, сложив y₁ и y₂. Используя тождество

и учитывая, что w/u= 2p/l, получим

. (8.1)

Этот колебательный процесс называется стоячей волной. Формула (8.1) показывает, что множитель , выражающий периодическое изменение во времени, не зависит от координаты, а амплитуда колебаний различна для разных точек струны. Из выражения (8.1) следует, что на струне имеется ряд точек, которым соответствует амплитуда, равная нулю. Эти точки (их называют узлами) определяются из условия:

или , n = 0, 1, 2, … (8.2)

(к узлам падающая волна и отраженная приходят в противофазе).

В частности, при n = 0 х = L, т.е. точка закрепления струны является узлом, как и должно быть. Посередине между узлами амплитуда колебаний максимальная и равна 2 А. Эти точки - их называют пучностями - определяются из условия

или , n = 0,1,2,… (8.3)

(к этим точкам колебания приходят в фазе).

Таким образом, узлы, также как и пучности - находятся друг от друга на расстоянии полуволн. Все частицы струны между двумя соседними узлами колеблются синфазно, а колебания частиц по разные стороны от узла совершаются в противофазе.

Рис.8.3

На рис.8.3 показана конфигурация 1 отрезка струны с длиной λ в момент прохождения струной положения равновесия, 2 - через (1/8)Т, 3 - через (1/4)Т. В последнем случае смещение частиц достигло амплитудных значений. В струне, закрепленной с обоих концов, в точках

закрепления расположены узлы.

Поэтому в струне с заметной интенсивностью возбуждаются колебания только таких частот, при которых на длине струны L укладывается целое число полуволн, т.е. когда

или , n = 1, 2, … (8.4)

Учитывая связь l с частотой n и скоростью распространения волны u, можно записать:

, n = 1, 2,... (8.5)

Частоты n_n называют собственными частотами колебаний струны. Самая низкая собственная частота n₁= /2L называется основной частотой или основным тоном (n=1). Более высокие частоты, кратные n₁, называютсяn₁ - первой, n₂ - второй, n₃ - третьей и т.д. гармониками.

Скорость распространения поперечных колебаний вдоль струны зависит от натяжения струны и определяется формулой

, (8.6)

где Т - натяжение струны (в равновесном состоянии), r - плотность материалы струны, S - поперечное сечение струны, или

, (8.7)

где d - диаметр струны.

Для возбуждения колебаний в струне в данной работе используется явление резонанса, которое заключается в следующем: если частота вынуждающей силы, приложенной к малому участку струны, совпадает с одной из собственных частот струны, а место приложения - с одной из пучностей, то в струне устанавливается колебательный процесс (стоячая волна) с максимальной амплитудой колебаний. Вынуждающей силой Ампера , действующая на отрезок струны Dl, расположенный между полюсами постоянного магнита. По закону Ампера

, (8.8)

где I - сила тока в струне, - вектор, его направление совпадает с направлением тока, - индукция магнитного поля.

Таким образом (вспомните определение векторного произведения),

DF = I Dl В sina,

Рис.8.4

направление DF выбирается так, как показано на рис.8.4. Именно вектор перпендикулярен плоскости, которую фиксируют и , и направлен так, что при взгляде "со стрелки" кратчайший поворот от к должен быть виден совершающимся против часовой стрелки.

 

8.2. Описание установки

 

В установке, схематически показанной на рис.8.5, струна натягивается между стойками подставки, причем один конец ее закреплен неподвижно, а к другому прикреплена чашка с грузами, создающими натяжение в струне.

Рис.8.5

Стойка с закрепленным концом струны может перемещаться. От звукового генератора переменное напряжение подается на струну. Вдоль струны может свободно перемещаться постоянный магнит (N S). Так как по струне течет переменный ток, то на ее участок, находящийся между полюсами магнита, действует сила Ампера, изменяющаяся с той же частотой, что и сила тока. Если при этом частота звукового генератора совпадает с одной из собственных частот струны, а

положение магнита - с пучностью стоячей волны, то наблюдается явление резонанса

Ручки управления звуковым генератором расположены на его передней панели. Частота колебаний устанавливается поворотом ручки переключателя "Множитель" (ступенчатая регулировка) и поворотом лимба (плавная регулировка). Для определения частоты ЗГ в герцах нужно отсчет по шкале лимба умножить на показание переключателя "Множитель".

Напряжение на выходе ЗГ регулируется "Рег.вых.напр." (плавная регулировка) и ступенями, при помощи переключения аттенюатора (делителя), имеющего гравировку "Пределы шкалы" - "Ослабление дБ". Основная погрешность прибора по частоте

∆ν = ± (0,02 ∙ F + 1) Гц,

где F - показание шкалы лимба.

 

8.3. Порядок выполнения работы

 

1) Включить генератор.

2) Создать натяжение в струне, поместив на чашку для грузов разновески так, чтобы суммарная масса была равна примерно 50 г.

3) С помощью линейки измерить длину рабочей части струны, то есть расстояние от одной стойки до другой. Измерить микрометром диаметр струны в различных точках рабочего участка 5 раз и в качестве диаметра взять среднее из этих измерений.

4) По формуле (8.7) вычислить теоретическое значение скорости распространения колебаний в струне для данного натяжения Т. Результаты занести в таблицу 3 (в графу ). Используя вычисленное значение скорости , по формуле рассчитать частоту основного тока ν₁. Значение ν₁ вписать в таблицу 3 (в графу ν_теор). Туда же занести найденные по формуле (84) значения следующих обертонов ν₂ и ν₃ (при n = 2 и n = 3).

5) После прогрева генератора ручкой "Множитель" и поворотом лимба звукового генератора установить частоту основного тона ν₁. Установив магнит посредине струны и плавно изменяя частоту вращением лимба генератора, добиться устойчивых колебаний основного тона. Соответствующее значение ν_1эксп, определенное по шкале генератора, занести в таблицу 3 (в графу ν_эксп). Аналогично найти ν_2эксп и ν_3эксп. Для этого, передвигая магнит и меняя частоту ЗГ вблизи рассчитанных предварительно ν₂ и ν₃, добиться устойчивых колебаний второго и третьего обертонов. Определенные по шкале ЗГ частоты ν_2эксп и ν_3эксп занести в таблицу 3.

Если амплитуда колебаний окажется малой, следует увеличить выходное напряжение генератора.

Таблица 3

Масса груза, г	n	Форма собств. колебаний	ν, Гц	∆ν, Гц	, м/с	∆
νтеор	νэксп
m1
m2

 

6) Провести аналогичные измерения при других натяжениях нити еще 4 раза (пункты 4 и 5), увеличивая массу разновесок каждый раз на 30 г.

7) По экспериментальным данным найти скорости распространения поперечных колебаний для каждого натяжения струны по формуле

8) Построить (на одном рисунке) графики зависимости и от натяжение струны Т = Р = mg, m - масса груза) и сделать выводы.

 

8.4. Контрольные вопросы

 

1. Что такое волна? Какие волны называют поперечными?

2. Как определяется длина волны?

3. Как получаются стоячие волны? Что такое узлы? пучности?

4. Какую частоту называют основной? Обертоном?

5. От чего зависит скорость распространения поперечных колебаний вдоль струны?

6. Как используется явление резонанса в данной работе?

7. Как определяется сила Ампера в данной работе?

8. Каково назначение постоянного магнита и ЗГ в установке?

9. Как выглядит закрепленная с обоих концов струна, если в ней установились колебания основного тона? 1-го, 2-го обертонов?

10. Объясните вывод уравнения стоячей волны.

 

Литература. [1, §§ 14.2; 2, §§ 54; 3, §§ 44, 93, 99, 100]

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М., Милковская Л.Б. Курс физики: Учебное пособие для втузов. В 3-х т. - Изд. 4-е, перераб. - М.: Высшая школа, 1977. Т.2: Электричество и магнетизм. 375 с.

2. Зисман Т.А., Тодес О.М. Курс общей физики.Т.2. М.: Наука, 1972. 366 с.

3. Савельев И.В. Курс общей физики: Для втузов. В 3-х т. М.: Наука, 1978. Т.2: Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. 480 с.

4. Трофимова Т.Н, Курс физики: Учебное пособие для вузов. 4-е изд., испр. М.: Высшая школа, 1997. 542 с.

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение.…………………………………………………………………..
Магнитное поле ……………………………………………………………
1. Изучение магнитного поля соленоида ………………………………..
2. Определение горизонтальной составляющей магнитного поля Земли с помощью тангенс-буссоли …………………………….
3. Определение удельного заряда электрона методом фокусировки пучка электронов в продольном магнитном поле …...
4. Определение удельного заряда электрона методом магнетрона.
5. Изучение физических свойств ферромагнетиков ……………………
6. Экспериментальное определение индуктивности катушки ………...
7. Исследование вынужденных колебаний в LCR контуре ……………
8. Исследование колебаний струны методом резонанса ………………
Литература …………………………………………………………………