ТИПЫ ФУНКЦИЙ

 

Тип	График	Параметры, аналитическая зависимость	Способ продолжения
	а   0 α β γ δ ℓ		Если то продолжаем четным образом. Если то продолжаем нечетным образом.
	а   0 α ℓ		Если то продолжаем четным образом. Если то продолжаем нечетным образом.

Продолжение табл.1.7

1
	а     0 ℓ		, функция продолжается четным образом. , функция продолжается нечетным образом. период функции.
	а   β     0 α ℓ		следовательно, - период. функция продолжается четным образом.

 

Продолжение табл.1.7

	а     0 α ℓ		функция продолжается четным образом. промежуток, является периодом.
	а   β   0 α ℓ		следовательно, - период функция продолжается четным образом.

 

 

Разложим каждое слагаемое в ряд

, (2.1)

, (2.2)

, (2.3)

. (2.4)

Определим, сколько слагаемых надо взять в каждом разложении, чтобы достигнуть заданной точности.

Ряд (2.1) – знакочередующийся ряд лейбницевского типа, поэтому воспользуемся оценкой Лейбница для остатка ряда: |R_n| £ a _n+1. Первый отброшенный член не должен превосходить 0,001

n = 3

Значит, нам достаточно взять первые два слагаемых.

Ln 1,1» 0,1 – 0,5×10^-2 = 0,1 – 0,005 = 0,095.

Ряды (2.2) – (2.4) являются знакоотрицательными рядами, поэтому оценкой Лейбница воспользоваться нельзя. Оценим Ln(1 + x) сверху геометрической прогрессией

Тогда

(2.5)

Воспользуемся оценкой (2.5) для рядов (2.2) – (2.4).

Для ряда (2.2)

Это верно для n = 10. Следовательно, надо в разложении взять 10 слагаемых для достижения заданной точности 0,001.

Для ряда (2.3)

Неравенство верно для n = 6. Значит, надо взять лишь 6 слагаемых разложения

Для ряда (2.4)

Это верно для n = 8. Следовательно,

.

Итак,

Таким образом,

1,703 < Ln 5,5 < 1,705.

 

 

2.2. Пример 2

 

Вычислить значение определенного интеграла с точностью до 0,001.

Интеграл J является несобственным. Так как то положим f(0) = -1.

Разложим подынтегральную функцию в ряд и почленно проинтегрируем

Определим, сколько слагаемых надо взять, чтобы погрешность вычислений не превышала 0,001. Для этого применим метод мажорирования.

Для n = 5 . Поэтому берем 5 слагаемых в разложении

-0,5817 < J < -0,5797.

 

 

2.3. Пример 3

Вычислить значение определенного интеграла с точностью до 0,001.

Интеграл y является несобственным. Так как , то положим F(0) = 2.

Обозначим . Разложим f(x) в степенной ряд

где - n-ый остаток, допускающий оценку Лагранжа.

где

Так как и экспонента достигает максимального значения на правом конце отрезка, то . Следовательно,

Значит,

где

Оценим сверху:

Теперь подберем n так, чтобы

Для этого n будем иметь и требуемая точность

 

Необходимо взять в сумме 9 слагаемых, и необходимая точность будет достигнута.

3. Контрольные вопросы

 

1. Что называется функциональным рядом?

2. Область сходимости функционального ряда.

3. Ряд Тейлора для функции f (x) по степеням х – а.

4. Что называется степенным рядом?

5. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

6. Оценка остатка функционального ряда.

7. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

8. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.

9. Теорема о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда.

10. Равномерная сходимость степенного ряда. Теорема Вейерштрасса.

11. Разложение в ряд основных функций: e^x, Cos x, Sin x, Ln(1+x), (1+x)^m.

12. Условия разложимости функций в ряд Тейлора.

 

 

Библиографический список

 

1. Пискунов Н.И. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.2. М.: Наука, 1970-1976.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука, 1980.

3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1971.

4. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2. М.: Высш., шк., 1971.

5. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. / Под ред. Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1978.

6. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М. Высш. шк., 1966.

7. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы. / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1981.

8. Шмелев П.А. Теория рядов в задачах и упражнениях. М.: Высш. шк., 1983.