Закон больших чисел

 

Под законом больших чисел понимается ряд теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Рассмотрим вспомогательные теоремы: лемму и неравенство Чебышева, с помощью которых доказывается закон больших чисел в форме Чебышева.

Лемма Чебышева. Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа А верно неравенство

или .

Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство

или .

Для некоторых случайных величин неравенство Чебышева записывается так:

a) для случайной величины X, имеющей биномиальный закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией :

;

б) для частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью , и имеющей дисперсию :

.

Теорема Чебышева. Если дисперсии n независимых случайных величин X ₁, X ₂, …, X _n ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий a ₁, a ₂, …, a _n, т.е.

.

Следствие. Если независимые случайные величины X ₁, X ₂, …, X _n имеют одинаковые математические ожидания, равные а, а их дисперсии ограничены одной и той же постоянной С, то

.

 

18.1. Среднее число вызовов, поступающих в течение часа на станцию скорой помощи, равно 30. Оценить вероятность того, что в течение часа число вызовов: а) превысит 40; б) не превысит 50.

18.2. Фонд заработной платы учреждения составляет 200 тыс. руб., а вероятность того, что зарплата случайно взятого сотрудника не превысит 1000 рублей, равна 0,6. Оценить численность персонала учреждения.

18.3. Средний расход воды в садоводческом товариществе составляет 200 м³ в день, а среднее квадратическое отклонение этой случайной величины равно 40 м³. Оценить вероятность того, что в какой-то день расход воды в товариществе не превысит 400 м³, используя: а) лемму Чебышева; б) неравенство Чебышева.

18.4. Вероятность своевременной доставки почтового отправления адресату равна 0,98. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число несвоевременно доставленных среди 1000 почтовых отравлений находится в границах от 10 до 30 (включительно). Уточнить вероятность того же события с помощью интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

18.5. Дисперсия отдельного измерения некоторой величины не превосходит 2. Сколько нужно провести измерений величины, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более чем на 0,1 (по абсолютной величине)?

18.6. На основании длительных наблюдений за спортивными достижениями легкоатлета составлена следующая таблица его результатов в беге на 100 м:

Время, показанное спортсменом, с		10,5		11,5
Вероятность	0,1	0,3	0,5	0,05	0,05

С помощью леммы Чебышева оценить вероятность того, что легкоатлет на стометровке покажет время хуже 12 с.

18.7. Даны 50 независимых неотрицательных случайных величин Х₁, Х₂, …, Х₅₀ с математическими ожиданиями М[Х _i ] = 0,5 и дисперсиями D[X _i ] = 0,5 (i = 1, 2, …, 50). С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что средняя арифметическая этих случайных величин не превзойдет величины, равной 1.

18.8. По данным переписи населения в среднем 90 % семей имеют холодильники. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из 1000 семей доля семей, имеющих холодильник, будет отличаться от вероятности этого события не более чем на 0,04 (по абсолютной величине).

18.9. Опрос показал, что адресная реклама в среднем в каждом пятидесятом случае приводит к тому, что потенциальный покупатель приобретает рекламируемый товар. С помощью неравенства Чебышева найти границы, в которых будет находиться число сделанных по рекламе заказов, если всего разослано 10000 рекламных листков.

18.10. Продолжительность горения электролампочки является случайной величиной, дисперсия которой не превышает 8100. Пользуясь теоремой Чебышева, оценить наибольшее отклонение средней арифметической продолжительности горения 4000 электролампочек от средней арифметической их математических ожиданий, если результат необходимо гарантировать с вероятностью, не меньшей 0,9.

18.11. Практика показывает, что 7 % накладных, проходящих проверку в бухгалтерии, оказываются неправильно оформленными. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, из 500 накладных доля правильно оформленных окажется от 0,91 до 0,95.

18.12. Для определения среднего веса пакета со стиральным порошком в партии из 100 коробок было взято на выборку по одному пакету из каждой коробки. Оценить вероятность того, что средний вес отобранных 100 пакетов отличается от среднего веса пакета во всей партии не более чем на 10 г (по абсолютной величине), если известно, что среднее квадратическое отклонение веса пакета в каждой коробке меньше 18 г.

3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКой СТАТИСТИКИ