Двумерные случайные величины
Двумерной называют случайную величину (Х, Y), возможные значения которой есть пары чисел (х, у). Составляющие Х и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную точку М(Х, Y) на плоскости хОу либо как случайный вектор Функция распределения двумерной случайной величины (Х, Y) определяется соотношением F(x; y) = P(X < x, Y < y) и геометрически определяет вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (Х, Y), лежащий левее и ниже ее. Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны; непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны. Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан с помощью таблицы
где x 1 <x 2 <…<xi<…; y 1 <y 2 <…<yj<…; pij – вероятность события, заключающаяся в одновременном выполнении равенств Х = хi; Y = yj, при этом Функция распределения двумерной дискретной случайной величины определяется равенством Закон распределения непрерывной двумерной случайной величины может быть задан с помощью функции плотности вероятности f(x,y), удовлетворяющей условиям: 1) f(x; y) ³ 0; 2) Если все возможные значения (Х, У) принадлежат конечной области D, то Вероятность попадания случайной точки (Х, У) в область D определяется равенством Связь плотности вероятности f(x, y) и функции распределения F(x,y) двумерной непрерывной случайной величины задается соотношениями Законы распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины вычисляются по формулам Для нахождения законов распределения составляющих двумерной дискретной случайной величины нужно суммировать вероятности в таблице по строкам или по столбцам. Условным распределением составляющей Х при Y = уj (j – сохраняет одно и то же значение при всех возможных значения Х) называют совокупность условных вероятностей Аналогично определяется условное распределение Y. Условные вероятности составляющих X и Y вычисляются соответственно по формулам
Для непрерывных случайных величин формулы вычисления условных плотностей распределения выглядят так:
Числовые характеристики составляющих вычисляются по формулам
Точка Для оценки тесноты взаимосвязи составляющих вычисляют корреляционный момент или ковариацию
Корреляционный момент удобно вычислять по формуле Степень связи между составляющими в чистом виде характеризует так называемый нормированный корреляционный момент, или коэффициент корреляции Случайные величины Х, У называются некоррелированными, если К XY = 0, а следовательно, и Случайные величины Х, Y называются независимыми, если вероятность одной из них принять значение, лежащее в любом промежутке области ее значений, не зависит от того, какое значение приняла другая величина. Для двумерной дискретной случайной величины, представленной в виде таблицы распределения, условие независимости составляющих Х и Y состоит в том, что для любых i и j Для двумерной непрерывной случайной величины условие независимости состоит в том, что Независимые случайные величины всегда некоррелированны. Обратное, вообще говоря, неверно (т.е. некоррелированные величины могут быть зависимыми). Условным законом распределения случайной величины Yx называется закон распределения случайной величины Y при условии, что Х = х. Функциональная зависимость М[ Yx ] = j(x) называется регрессией случайной величины Y на случайную величину Х. Среднее значение квадрата отклонения Функция Простейшей функцией является линейная Аналогично уравнение прямой среднеквадратичной регрессии Х на Y: 16.1. Восстановить законы распределения составляющих Х и Y двумерной дискретной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения. Найти условное распределение случайной величины Х при условии, что Y = y 1. Найти условное распределение случайной величины Y при условии, что Х = х 2.
16.2. Найти числовые характеристики M[X], D[X], s[X], M[Y], D[Y], s[Y] составляющих Х и Y двумерной дискретной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины.
16.3. По некоторой цели производится два выстрела. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Составить таблицу распределения двумерной случайной величины (Х; Y), где Х – число попаданий, Y – число промахов. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины. Определить, зависимы или нет составляющие Х и Y. 16.4. Найти числовые характеристики M[X], D[X], s[X], M[Y], D[Y], s[Y] составляющих Х и Y двумерной непрерывной случайной величины (Х; Y), имеющей плотность 16.5. Двумерная непрерывная случайная величина (Х; Y) подчинена закону распределения с плотностью 16.6. Двумерная непрерывная случайная величина (Х; Y) распределена равномерно в круге радиуса R = 5 с центром в начале координат. Доказать, что составляющие Х и Y являются зависимыми и некоррелированными величинами. 16.7. Найти плотность вероятности f(x; y) двумерной случайной величины (Х; Y), имеющей функцию распределения 16.8. Найти уравнения прямых линий средних квадратических регрессий Y на Х и Х на Y двумерной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения:
16.9. Найти числовые характеристики M[X], D[X], s[X], M[Y], D[Y], s[Y] составляющих Х и Y двумерной дискретной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины.
16.10. Найти числовые характеристики M[X], D[X], s[X], M[Y], D[Y], s[Y] составляющих Х и Y двумерной непрерывной случайной величины (Х; Y), имеющей плотность 16.11. Двумерная непрерывная случайная величина (Х; Y) подчинена закону распределения с плотностью 16.12. Найти плотность вероятности f(x; y) двумерной случайной величины (Х; Y), имеющей функцию распределения 16.13. Найти уравнения прямых линий средних квадратических регрессий Y на Х и Х на Y двумерной случайной величины (Х; Y), заданной таблицей распределения:
|
.
.
.
.
.
.
; 
.
; 
.
, 
, …, 
.
; 
.
; 
.
; 
– для дискретных случайных величин;
;
– для непрерывных случайных величин;
; 
;
; 
.
называется центром рассеяния двумерной случайной величины ( X, Y).
.
, где 
в дискретном и 
в непрерывном случае.
, обладающий следующими свойствами: 1) 
2) 
тогда и только тогда, когда случайные величины связаны линейной зависимостью.
.
, где 
, 
. Внешне это выражается в том, что строки и столбцы таблицы пропорциональны.
.
достигает минимально возможного, когда j(х) – регрессия Y на Х (минимизирующее свойство регрессии).
из класса функций 
, определяемых набором параметров а1, …, аk называется среднеквадратичной регрессией Y на Х в этом классе функций, если среднее значение квадрата отклонения 
достигает на наборе параметров 
минимального значения для всех функций этого класса.
. Уравнение прямой среднеквадратичной регрессии Y на Х выглядит так: 
.
.
, где D – треугольник ограниченный линиями х = 0; у = 0; х + у = 1. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины. Найти функцию распределения 
.
, где D – квадрат 
. Найти коэффициент а. Определить, зависимы или нет составляющие Х и Y. Найти коэффициент корреляции и условные законы распределения Х, Y.
.
, где D – прямоугольник 
. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции данной случайной величины. Найти функцию распределения 
, где D – квадрат 
. Определить, зависимы или нет составляющие Х и Y. Найти коэффициент корреляции и условные законы распределения Х, Y.
.
