Простейший поток событий

 

Дискретная случайная величина Х называется пуассоновской с параметром l ( l >; 0 ), если её возможные значения 0, 1, 2, …, а их вероятности .

Математическое ожидание и дисперсия пуассоновской случайной величины выражается через параметр l следующим образом:

.

Пуассоновская случайная величина является предельным случаем биномиальной случайной величины при , так, что , где l – постоянная величина.

Потоком событий называют последовательность событий, происходящих в случайные моменты времени. Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, обладающий свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка времени и не зависит от расположения на оси.

Свойство отсутствия последействия состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.

Свойство ординарности состоит в том, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно.

Интенсивностью потока l называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Если постоянная интенсивность потока l известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона

.

Для справки: значения функции	х	–1	–2	–3	–4
	0,368	0,135	0,050	0,018

 

11.1. Случайная величина X распределена по закону Пуассона с параметром l = 3. Найти Р { 0,5 £ X £ 2,5 }.

11.2. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.

11.3. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берётся на пробу 20 дм³ воздуха. Найти вероятность того, что в нём будет обнаружен хотя бы один микроб.

11.4. На ремонтную базу поступает в среднем 16 заявок в день (рабочий день восьмичасовой). Поток заявок можно считать простейшим. Найти вероятность того, что а) за 1 ч не поступит ни одной заявки; б) за 2 ч поступит не менее двух и не более трёх заявок.

11.5. Поток неисправностей (сбоев), возникающих при работе автоматической линии, можно считать простейшим. Среднее число сбоев за сутки равно 1,5. Найти вероятность того, что за 2 суток произойдёт а) один сбой; б) более двух сбоев.

11.6. Поток сбоев, возникающих при работе ЭВМ, можно считать простейшим потоком с плотностью . Для решения задачи на ЭВМ требуется 20 ч машинного времени, причём при наличии сбоя приходится начинать решение сначала. Какова вероятность того, что решение будет получено с первой попытки?

11.7. Поток заявок, поступающих в некоторую систему массового обслуживания, достаточно точно моделируется простейшим. При изучении опытных данных рассматривалось 200 выбранных наудачу промежутков времени длиной в 2 мин. Оказалось, что число тех из них, в которых не было зарегистрировано ни одной заявки, равно 27. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа заявок за 1 ч.

 

11.8 Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьётся, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.

11.9. Поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, можно считать простейшим. Среднее число вызовов за один час равно 60. Найти вероятность того, что а) за две минуты не будет ни одного вызова; б) за три минуты число вызовов будет больше двух; в) за четыре минуты число вызовов будет меньше четырёх.

11.10. Корректура в 500 страниц содержит 500 опечаток. Найти вероятность того, что на странице не меньше трех опечаток.

11.11. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 с испускало в среднем
3,87 a-частиц. Найти вероятность того, что за 1 с это вещество испустит хотя бы одну a-частицу.