ЧАСТЬ 1. ТРЕУГОЛЬНИК И ЕГО СВОЙСТВА. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

1. На одной стороне угла с вершиной S отмечены точки D и B, причем SB > SD, на другой стороне – точки C и E. SD = SC, SB = SE. Докажите, что КB = КE, где К = DE CB.

Дано: S, SB>SD. SB=SE, SD=SC.

Доказать: KB=KE.

Док-во: 1)Рассмотрим треугольники BSC и ESD. BSC = ESD по двум сторонам и углу между ними, т.к. SC=SD – по условию, SB=SE – по условию, S - общий.

2) Рассмотрим треугольники KDB и KCE.

a) Видим, что DB=CE как разности равных отрезков, т.е. DB=SB-SD, CE=SE-SC. b) BDK= ECK как смежные с равными углами, т.е. BDK=180⁰- SDE ECK=180⁰- SCB.

c) DBK= CEX, т.к. BSC = ESD. Т.о. KDB = KCE, а значит, KB=KE.

2. В треугольнике АВС проведена медиана АА₁. На ней задана точка К такая, что СКА₁ = А₁КВ. Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.

Дано: АВС, АА₁ – медиана, СКА₁ = А1КВ.

Доказать: АВС - равнобедренный.

Док-во: 1)Рассмотрим CКВ. Отрезок КА₁ является медианой и биссектрисой, значит, CКВ равнобедренный, и СК = КВ.

2) АСК = АВК (по двум сторонам и углу между ними). Т.к. АК – общая, СК=КВ по доказанному, АКС= АКВ, как смежные с равными углами СКА₁ и А₁КВ.

3) Из равенства треугольников АСК и АВК, следует, что АС=АВ, т.е. треугольник АВС - равнобедренный.

3. Докажите, что вершины В и С треугольника АВС равноудалены от медианы m_a.

Дано: АВС, АМ- медиана, М ВС, ВМ=МС, ВВ₁ АМ, В₁ АМ, СС₁ АМ, С₁ АМ. Доказать: ВВ₁=СС₁.

Док-во: 1) СС₁М = ВВ₁М (по гипотенузе и острому углу). Т.к. СМ=МВ, СМС₁= ВМВ₁, как вертикальные.

2) Из равенства треугольников СС₁М и ВВ₁М, следует равенство их катетов СС₁ и ВВ₁.

4. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВВ₁. Пусть М – такая точка плоскости, что отрезок МВ₁ пересекает сторону ВС в точке К. ВМ = АВ₁, МВВ₁ = ВВ₁А. Докажите, что ВК = КВ₁.

Дано: АВС, ВВ₁- биссектриса, АВВ₁= В₁ВС. К ВС, ВМ=АВ₁. МВВ₁= ВВ₁А. Доказать: ВК = КВ₁.

Доказательство:

1) АВ₁В = МВВ₁ (по двум сторонам и углу между ними). Т.к. ВМ=АВ₁, ВВ₁ – общая, ВВ₁А= МВВ₁.

2) Тогда АВВ₁= ВВ₁М как углы, лежащие против равных сторон АВ₁ и ВМ в равных треугольниках АВ₁В и МВВ₁.

3) Получили, что АВВ₁= ВВ₁М, и АВВ₁= В₁ВС (т.к. ВВ₁- биссектриса угла АВС). Значит, ВВ₁М= ВВ₁К, т.е. ВВ₁К – равнобедренный. Следовательно, ВК = КВ₁.

5. Докажите, что если угол и две высоты одного треугольника соответственно равны углу и двум высотам второго треугольника, то эти треугольники равны.

Решение: Выделим в этой задаче два случая: а) когда в каждом треугольнике обе данные высоты проведены к сторонам равных углов; б) когда одна из высот каждого треугольника проведена к стороне, противолежащей данному углу.

Случай а)

Дано: АВС, А₁В₁С₁. B = B₁, AM BC, M BC, CN AB, N AB, A₁M₁ B_lC₁, M₁ B_lC_l, C_lN_l A_lB_l, AM=A_lM_l, CN = C_lN_l. Доказать: АВС= А₁В₁С₁.

Док-во: 1) АMВ = A₁M₁В₁ (по катету и острому углу). Т.к. AM=A_lM_l, B = B₁. Следовательно, АВ=А₁В₁.

2) CNВ = C₁N₁В₁ (по катету и острому углу). Т.к. CN = C_lN_l, B = B₁. Следовательно, ВС=В₁С₁.

3) АВС = А₁В₁C_l (по двум сторонам и углу между ними). Т.к. АВ=А₁В₁, ВС=В₁С₁, B = B₁.

Случай б)

Дано: АВС, А₁В₁С₁. B = B₁, AM BC, M BC, BN AC, N AB, A₁M₁ B_lC₁, M₁ B_lC_l, B_lN_l A_lC_l, AM=A_lM_l, BN = B_lN_l.

Доказать: АВС= А₁В₁С₁.

Доказательство: 1) АMВ= A₁M₁В₁ (по катету и острому углу). Т.к. AM=A_lM_l, B = B₁. Следовательно, АВ=А₁В₁.

2) ANВ= A₁N₁В₁ (по катету и гипотенузе). Т.к. BN = B_lN_l, АВ=А₁В₁. Следовательно, A = A₁.

3) АВС = А₁В₁C_l (по стороне и прилежащим к ней углам).

Т.к. АВ=А₁В₁, A = A₁, B = B₁.

6. Угол ВАС равен 30⁰. Из точки D стороны АВ опущен перпендикуляр DE на сторону АС; из точки Е опущен перпендикуляр EF на сторону АВ; из точки F – перпендикуляр FM на сторону АС. Вычислите FM, если DE равен 10.

Дано: АВС=300, D AB, DE AC, E=DE AC, EF AB, F=EF AB, FM AC, M=FM AC, DE=10. Найти: FM. Решение: 1) Рассмотрим АDE. Он прямоугольный (DE AЕ), DAE=300, значит, AD=2DE=20. 2) DAE = DEF, как острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами (DE AC, EF AD). 3) Тогда в FED DFE=900, FED=300, то FD= DE=5. 4) AF=AD-FD=20-5=15. 5) В AMF AMF=900, FAM=300, то FM= AF=7,5.

7. Докажите, что если высота треугольника делит его периметр пополам, то треугольник равнобедренный.

Дано: АВС=300, BH AC, AB+AH=HC+BC. Доказать: АВ=ВС. Доказательство: 1) На продолжении стороны АС за точку А отложим отрезок АМ, равный АВ. На продолжении СА за точку С отложим отрезок СN, равный ВС. 2) Получим МА+АН=НС+СN, так как по условию АВ+АН=НС+ВС, ВН MN. Следовательно, треугольник MBN-равнобедренный, т.е. M= N. (*) 3) BAH = BMA+ ABM, т.е. BAH =2 M (1), т.к. AM=AB, а значит, AMB= ABM. 4) BCH=2 N (2). 5) Из (1), (2) и (*) следует, что ВАН= ВСН, т.е. треугольник АВС равнобедренный.

8. Докажите, что если биссектриса треугольника делит его периметр пополам, то треугольник равнобедренный.

Дано: АВС, ABL= LBC, L=BL AC, AB+AL=LC+BC. Доказать: АВ=ВС. Доказательство: 1) На продолжении стороны BA за точку А отложим отрезок АМ, равный АL. 2) На продолжении BС за точку С отложим отрезок СN, равный LС. 3) Тогда получим BА+АM=BС+СN, так как по условию АВ+АL=BС+CL. 4) BML = BNL по двум сторонам и углу между ними. Т.к. BL- общая, BM=BN, и MBL= LBN. 5) Из равенства треугольников BML и BNL следует равенство углов M и N и сторон ML и LN. 6) AML = CNL по стороне и двум прилежащим углам. Т.к. ML=LN, AML= ALM, CLN = CNL, AML = CNL. 7) Значит, AL=LC, и BL – биссектриса, т.е. треугольник АВС равнобедренный.

9. Найти углы треугольника, в котором высота и медиана, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на три равные части.

Дано: АВС, М AB, АМ=МВ, СН AВ, Н AB, AСМ= МCН= НСВ. Найти: А, В, С. Решение: 1)Пусть НВ=х, тогда МН=х, т.к. МСН= BСН ( МНС = СНВ = 900, СН-общая, МСН= НСВ). Значит, АМ=2х, т.к. АМ=МВ. 2) Проведем MN AС, N=MN AC. Тогда СMN = CMH, т.к. СNM= CHM=900, CM- общая сторона, NСM= HСM. Значит,MN=x. 3) ANM – прямоугольный, ANM=900, MN=x, AM=2x. Тогда катет MN лежит против угла NAM и равен половине гипотенузы АМ. Значит, CHM=300. 4) Из прямоугольного АСН получаем, что АСН=600, значит, AСВ=900, СВА=600. Ответ: 300, 900, 600.