В цьому випадку

 

h(t) = k(1- T₁/(T₁-T₂)e^-t/T1+T₂ / (T₁ -T₂)e ^–t/T2 (2.15)

де Т₁ = - 1/α₁, Т₂ = - 1/α ₂.

Таким чином, при ξ > 1 рівняння (2.8) описує дві аперіодичні лани, з’єднані послідовно що мають постійні часу Т₁ і Т₂ та коефіцієнти підсилення, добуток яких дорівнює k.

Прикладом коливальної ланки може бути двигн постійного струму незалежного збурення (мал.1.6, б), у якого х_вх = u – напруга, що підводиться до якоря електродвигуна; х_вих =n – швидкість обертання вихідного валу, а момент опору на валу М_с = 0, тобто двигун працює вхолосту, при цьому враховується індуктивність ланцюга якоря. При вказаних умовах рівняння двигуна

Т_мТ_я d²n/dt² + T_м dn/dt + n = ku, (2.16)

 

де Т_м – електромеханічна постійна часу, яка характеризує механічну інерцію валу; Т_я – електромагнітна постійна часу ланцюга якоря двигуна, яка характеризує електромагнітну інерцію ланцюга якоря; k – коефіціент підсилення.

Величини Т_м, Т_я, і k визначаються через параметри двигуна, в тому числі Т_я = L_я/R_я, де L_я, R_я - індуктивність та опір ланцюга якоря.

Позначаючи в (2.16) Т_мТ_я = Т²; Т_м = 2ξТ, отримаємо типове рівняння коливальної ланки, в якій х_вх= u; х_вих= n:

 

Т²d²n/dt² + 2ξTdn/dt + n = ku

 

Рівнянням типу (2.8) описується рух маси, що підвішана на пружині, електромагнітні процеси в електричному ланцюзі, що містить індуктивність L, активний опір R, ємність С та багато інших ланок динамічних систем. Всі ланки такого типу мають передаточну функцію виду (2.12). При цьому величини k і T виражаються через конструктивні параметри відповідної ланки.

 

Інтегруюча ланка

 

Інтегруючою називається ланка, в якій вихідна величина пропорційна інтегралу від вхідної величини:

_t

х_вих = k ∫ x_вх dt (2.17)

або ⁰

dx_вих /dt = kx_вх

 

Застосовуючи до (2.17) перетворення Лапласа при нульових початкових умовах, отримаємо передаточну функцію інтегруючої ланки:

 

W(p) = x_вих(p)/x _вх(p) = k/p (2.18)

 

На основі (2.17) маємо перехідну функцію інтегруючої ланки (мал. 2.1, в)

h(t) = - kt

 

З (2.18) видно, що в інтегруючій ланці швидкість зміни вихідної величини пропорційна вхідній величині, тобто інтегруюча ланка є астатичною.

Прикладом інтегруючої ланки може бути двигун (мал. 1.6, б) в якому в якості вхідної величини розглядається швидкість обертання вала n, а в якості вихідної – кут його повороту φ. В цьому випадку маємо:

_{t t}

n =cdφ/dt або φ = 1/c ∫ ndt = k ∫ ndt

^{0 0}

де k і с – коефіцієнти пропорційності.

 

 

Підсилююча ланка

Підсилюючою називається ланка, в якій вихідна величина пропорційна вхідній:

 

х_вих = kx_вх; W(p) = x_вих(p)/x_вх(p) = k. (2.20)

 

Підсилююча ланка безінерційна – перехідний процес відсутній: вихідна величина змінюється разом зі змінами вхідної величини, без зсуву у часі (ма2.1, г). В дійсності будь-яка реальна ланка володіє інерційністю. Тому в динамічній системі підсилюючою (безінерційною) приймається така ланка, в якій перехідні процеси протікають невимірно швидше, ніж в інших ланках системи. Прикладом підсилюючих ланок може бути електронний підсилювач в системах регулювання механічних, теплових та інших інерційних процесів.

 

Диференціююча ланка

Ідеальною диференціюючою називається ланка, в якій вихідна величина пропорційна похідній від вхідної велечини:

 

х_вих = τ dx_вх/dt (2.21)

 

де τ – постійна часу ланки, яка визначається через її параметри.

Передаточна функція ідеальної диференціюючої ланки

 

W(p) = x_вих(p)/x_вх(p) = τp (2.22)

 

З (2.22) видно, що при стрибкообразній зміні вхідної велечини значення вихідної величини прямує до нескінченності, тобто при х_вх = [1]; х_вих = ∞ (мал. 2.1, д). Звичайно що в реальних ланках такий перехдний процес не можливий та його описання в формі (2.21) ідеалізоване.

В якості диференціюючої ланки широко застосовується RC-контур (мал. 2.1, е), для якого на основі законів Ома та Кірхгофа можна записати:

 

u_вх = u_с + iR = u_с + u_вих = 1/C ∫ idt + u_вих

 

Враховуючи, що і = u_вих / R, маємо:

 

u_вх = 1/τ ∫ u_вих dt + u_вих,

 

де τ = RC – постійна часу електричного контура, с.

З останнього виразу отримаємо

 

τdu_вих /dt + u_вих = τ du_вх /dt (2.23)

 

Беручи до уваги, що u _вих = х_вих; u_вх = x_вх, на основі (2.23) запишемо

 

τ dx_вих/dt + u_вих = τ du_вх/dt (2.24)

 

Підбираючи параметри ланки так, щоб τ dx_вих/dt <<х_вих, з (2.24) отримаємо рівняння ідеальної диференціюючої ланки– рівняння (2.21).

На вході реальних диференціюючих ланок окрім складової, пропорційної похідній від вхідної велечини, генеруються також і інші складові. В лінійних динамічних системах поряд з ідеальною диференційною ланкою, що описується рівняням (2.21) та передаточною функцією (2.22), в якості типових структурних ланок прийняті також:

реальна диференціююча ланка першого порядку, яка описується рівнянням

 

k(τ dx_вх/dt + x_вх) = x_вих (2.25)

 

диференціююча ланка другого порядку, яка описується рівнянням

 

k (τ² d²x_вх/dt² + 2ξτ dx_вх/dt +x_вх) = x_вих (2.26)

 

Застосовуючи до (2.25) та (2.26) перетворення Лаплпса при нульових початкових умоах, отримаєм передаточну функцію диференціюючої ланки першого порядку

 

W(p) = x_вих(p)/x_вх(p) = k(τp + 1) (2.27)

 

та передаточну функцію диференціюючої ланки другого порядку

 

W(p) = x_вих(p)/x_вх(p) = k(τ²p² + 2ξτp + 1) (2.28)

 

 

Постійна часу τ та коефіцієнт підсилення ланки k визначається на оснсві параметрів конкретних ланок.

Диференціюючі ланки широко використовуюються в якості корегуючих пристроїв, що вводяться в систему дл покращення її динамічних властивостей. За допомогою таких ланок у закони управління вводяться складові, пропорційні похідним по часу від відхилення чи збурення, що збільшує швидкодію системи.

Описаними типовими структурними ланками охоплюються всі ланки, можливі в динамічній системі управління. Не важко помітити універсальність приведеного математичного описання. Дійсно, описання ланок динамічних систем з використаням апарата передаточних функцій, що базується на початкових диференційних

 

Таблиця 2.1

 

 

Ланка Передаточна Типова ланка Перехідний процес

функція

k/(Tp+1)

х_вх х_вих

Аперіодич- W(p)=k/(Tp+1) х_вих=kх_вх(1-е^-t/T)

на

k/(T²p²+2ξTp+1)

Коливальна W(p)= х_вх х_вих х_вих=kx_вх[1-(e^{-ξ t/T})/√1-ξ² *

=k/(T²p²+2ξTp+1)

*sin((√1-ξ² /T)t+

+arctg(√1-ξ²) / ξ) ]

k/p

х_вх х_вих

Інтегруюча W(p)= k/p х_вих = kx_вх t

 

k

х_вх х_вих

Підсилююча W(p) = k х_вих = kx_вх

 

τp

х_вх х_вих

Диференцію- W(p) = τ p х_вих = τ dх_вх/dt

юча

 

k(τp+1)

х_вх х_вих

W(p) = k(τp+1) х_вих = k(τ dх_вх/dt+ х_вх)

 

 

рівняннях, не залежить від їх фізичної природи. Будь-яка система управління, не залежно від призначення, структури, фізичної природи її елементів може бути представлена математичною моделлю у вигляді сукупності озглянутих вище типових структурних ланок (табл. 2.1). Це є наочним свідоцтвом єдності матеріального світу: “Єдність природи виявляється у вражаючій аналогічності диференціальних рівнянь, що відносяться до різних галузей явищ ” (Ленин В. И. Материализм и эмпириокритицизм // Соч.-2-е изд. - Т. 14. - с.276).

Математичні моделі лінійних

динамічних систем

Математична модель лінійної динамічної системи може бути складена на основі математичних моделей елементів та ланок, що створюють систему. Лінійна система в загальному випадку включає в себе ланки, з’єднані послідовно, паралельно, охоплені зворотніми та перехресними зворотніми зв’язками. Передаточні функції всіх цих структур можуть виражатися через передаточні функції типових структурних ланок (мал. 2.2).

Послідвне з’єднання ланок. В цьому з’єднанні вихідна велечина попередньої ланки є вхідною величиною наступної ланки (мал. 2.2, а). Передаточна функція послідовно з’єднаних ланок дорівнює добутку передаточних функцій всіх ланок, що створюють з’єднання:

 

W₁(p) = x₂ (p)/x₁(p); W₂ (p) = x₃(p)/x₂(p);

 

W(p) = x₃(p)/x₁(p) = W₂(p) x₂(p)W₁(p)/x₂(p) = W₁(p)W₂(p)

 

В загальному випадку

 

W(p) = Π W_i (p), i = 1,n, (2.29)

 

де n – число послідовно з’єднаних ланок.

Паралене з’єднання ланок. В цьому з’єднанні (мал. 2.2, б) на вхід всіх ланок подається одна і та ж величина, а вихідна величина дорівнює сумі вихідних величин окремих ланок на основі малюнку 2.2,б маємо:

 

W(p) = x_вих(p)/x_вх(p) = (x_1вих(p) + x_2вих(p))/x_вх(p) =

 

=(W₁(p)x_1вх(p)+W₂(p)x_2вх(p))/x_вх(p)

 

Так як x_1вх =х_2вх = х_вх, то W(p) = W₁(p) + W₂(p) або в загальному випадку при k паралельно з'єднаних ланках

 

W(p) = Σ W_i(p), i = 1,k. (2.30)

 

W1(p)

W2(p)

W1(p)

x₁(p) x₂(p) x₃(p) x_1вх(p) x_1вих(p)

x_вх(p) x_вих(p)

x_2вх(p) x_2вих(p)

а б

 

W1(p)

Σ

х_вх х₁ x_вих

 

Wзз(p)

x_зз(р)

 

в

 

Мал. 2.2. Передаточні функції лінійних динамічних систем

 

Таким чином, передаточна функція з’єднання з паралельних ланок дорівнює сумі їх передаточних функцій.

Ланка, охоплена зворотним зв’язком. Для цього з’єднання (мал. 2.2, в)

 

x₁(p) = x_вх(р) ± x_зз(р),

 

де знак мінус – для випадку від’ємного зворотнього зв’язку, плюс – для додатнього.

Передаточна функція з’єднана

 

W(p) = x_вих(p)/x_вх(p) = (W₁(p)[x_вх(p) ± W_зз(p)x_вих(p)]) / /x_вх(p)

 

або після перетворення

 

W(p) = W₁(p)/(1±W₁(p)W_зз(p)), (2.31)

 

де знак плюс відповідає від’ємному зворотному зв’язку, а знак мінус – додатньому.