Погрешности вычислений

1. Неадекватность выбранной математической модели исходной физической. Эта неадекватность в большей или меньшей степени присуща всем приближенно решаемым задачам. Данная погрешность является неустранимой, и она определяется апостериорным путем (на шестом этапе решения задачи. Остальные три типа погрешностей являются сугубо вычислительными и обусловлены следующими причинами.

2. Неустранимые погрешности Связаны с точностью измерений или вычислений, или округлением исходных данных данных.

3. Погрешность численного или какого-либо другого приближенного метода Если неопределенность в исходных данных каким-либо образом устранена, и решение найдено с помощью какого-либо численного метода, то результат не будет в точности соответствовать исходным данным. Это и есть погрешность численного метода. Именно такие погрешности будут оцениваться при рассмотрении численных методов. Эти оценки могут получаться до выполнения вычислений (априорные оценки) и после них (апостериорные оценки).

4. Ошибки округления

В компьютере все числа представляются в конечном виде, и поэтому при использовании вычислительного алгоритма возникают ошибки арифметических и других операций над числами − ошибки округления.

 

Погрешность действий над приближенными величинами

Пусть х — точное, но, как правило, неизвестное значение величины, а — ее известное приближенное значение.

Абсолютной погрешностью приближения называется разность Δ =| х - | (в общем случае Δ имеет размерность величины х).

Относительная погрешность приближения обозначается δ и выражается отношением (δ-безразмерная величина, ≠0). Часто величина δ вычисляется в процентах, и тогда она умножается на сто.

Так как величина х, как правило, неизвестна, а погрешность необходимо определять, то в рассмотрение вводится предельная абсолютная погрешность Δ():

Раскрывая в этом неравенстве модуль, получаем соотношение, задающее отрезок, которому принадлежит точное значение: - Δ(х) ≤ х ≤ + Δ().

Таким образом, величина х находится в Δ-окрестности (дельта-окрестности), определяемой величинами и Δ() и составляющей отрезок [ a, b ].

Предельная относительная погрешность приближения определяется отношением . Отсюда получается часто используемое соотношение

Значащими цифрами приближенного числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Первые п значащих цифр приближенного числа называются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, соответствующего n -й значащей цифре, считая слева направо.

Вычислить приближенное число с точностью ε = 10^{- n} означает, что необходимо сохранить верной значащую цифру, стоящую в n -м разряде после запятой.

На практике возникает надобность в округлении приближенного числа, т.е. замене его числом с меньшим количеством значащих цифр.

Для округления числа до п значащих цифр следует отбросить все его цифры, стоящие справа от n -й значащей цифры.

Рассмотрим правило вычисления погрешностей арифметических операций и функций по погрешности аргументов (без учета ошибок округления).

При вычислении абсолютных погрешностей обычно используются формулы дифференцирования, в которых дифференциалы независимых переменных заменяются абсолютными погрешностями (dх_i = Δ; ,).

Пусть x₁ > 0, х₂ > 0 и заданы предельные абсолютные погрешности Δ(), Δ(), т.е. x ₁ = ±Δ( ), х ₂ = ±Δ(). Требуется найти погрешность суммы х=х ₁ + х₂.

Так как dx = dx₁ + dx₂, то . Отсюда следует, что

.

Теперь предположим, что x₁ >х₂, и найдем погрешность разности х =х,-х₂. Тогда dx=dx₁- dx₂ и , поэтому

Таким образом, абсолютная погрешность суммы и разности двух приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

Это правило справедливо для произвольного числа слагаемых. Так, если имеют одну и ту же погрешность , то Но реально погрешности могут иметь разные знаки и потому взаимно компенсировать друг друга. По правилу Чеботарева при п > 10 можно принять

.

Для относительной погрешности суммы и разности двух чисел х₁ ± х₂ получаем

Для произвольного числа слагаемых

где ; , i=1,…,n.

Пусть тогда

,

Поэтому

Аналогично при выполнении умножения и деления получаем погрешности (при тех же предположениях):

, ,)

,)

Изпоследних соотношений следует, что относительная погрешность произведения двух чисел равна сумме относительных погрешностей его сомножителей. Аналогичное правило выполняется и для частного от деления двух чисел.

Замечание. При вычитании близких чисел на ЭВМ происходит потеря верных значащих цифр, поскольку разность близка к нулю и, следовательно, относительная погрешность разности значительно больше относительной погрешности уменьшаемого и вычитаемого.

Пример Требуется вычислить разность у = х ₁ - х ₂ двух близких чисел х ₁ = 0,0 1234 и х ₂ =0,0 1231, для которых = 0,000002 (подчеркнуты верные значащие цифры).

□ Величина у = х₁ - х₂ = 0,00003 имеет только одну значащую цифру, так как D(ŷ) = 0,000004 < 0,5*10^-5 (абсолютная погрешность ре­зультата удвоилась). Таким образом, произошла потеря трех верных значащих цифр. Это следует учитывать при составлении алгоритма, по возможности избегая потери точности с помощью алгебраических преобразований формулы и изменения в ней последовательности вычислений.

Аналогично получаются формулы для погрешностей арифметических действий при вычислении функций многих переменных. Так, для z = f(x ₁ ,x _{2 i}...,x_n) имеем следующие формулы для погрешностей:

(А.15)

.

 

В арифметике целых чисел на ЭВМ операции сложения, вычитания и умножения выполняются точно. Деление целых чисел осуществляется с округлением — заменой частного его целой частью. Если в вычислениях присутствует большое число операций деления, то в целочисленной арифметике это может привести к большой погрешности из-за ошибок округления.

В арифметике вещественных чисел на ЭВМ все четыре действия, как правило, выполняются с округлением. Исключение составляют действия над числами, которые не выходят за разрядность ЭВМ.

Оценка погрешностей округлений при решении многих задач на ЭВМ может быть найдена апостериорным путем с помощью двух повторных расчетов в арифметике одинарной и двойной точности и составления разности полученных результатов. Этот прием используется также и для оценки погрешностей численного метода (модели).