Понятие диагонализируемости линейного оператора

Определение: Линейный оператор j в Rⁿ, называется диагонализируемым, если в некотором базисе f его матрица имеет вид:

Теорема: (критерий диагонализируемости оператора)

Линейный оператор j в Rⁿ диагонализируем тогда и только тогда, когда существует базис в Rⁿ состоящий целиком из собственных векторов j.

Доказательство: Пусть оператор j - диагонализирован

Þf_i – собственный вектор, отвечающий собственным значениям c_i.

Доказательство: (в обратную сторону)

Пусть - базис в Rⁿ, - собственный вектор j, отвечающий собственным значениям l_i:

Собственные вектора образуют линейное подпространство размерности 1 в базисе в Rⁿ из собственных векторов, нет.

Теорема: (достаточные условия диагонализируемости оператора) Если число различных собственных значений линейного оператора равно n, то оператор диагонализируем:

Доказательство: . Пусть - собственный вектор j, отвечающий собственным значениям l_i:Þ - линейно независимы, так как в в Rⁿ n – максимальное число линейно независимых векторов Þ " Î Rⁿ линейных векторов через . По критерию диагонализируемости оператора, оператор диагонализируем.