Формулы разложения.

а) Если изображение F (z)представляет собой отношение двух многочленов:

и степень числителя не выше, чем степень знаменателя, а корни знаменателя простые, тогда оригинал можно записать

 

где В ' – производная по z,

z _ν (ν =1, 2, …l) – корни знаменателя (множителю соответствует оригинал ).

б) Если изображение F (z)не имеет нулевого корня числителя, но степень числи теля А (z)меньше степени знаменателя, тогда

в) Если изображение F (z)не имеет нулевого корня числителя A (z), причем степень A (z) равна степени знаменателя В (z)). Тогда следует понизить степень числители, поделив его на знаменатель, и представить F (z)в виде суммы составляющей нулевом порядка и дробно-рационального остатка F ₀(z). Тогда

Переход от второй составляющей изображения к оригиналу может быть сделан по формуле

г) Если изображение F (z)можно представить в виде:

то

д) Если изображение F (z)имеет нулевой полюс кратности r ипростые остальные полюсы

причем степень числителя A (z)меньше степени полинома В ₀(z). Тогда можно найти оригинал в виде

(*)

При равенстве степеней числителя и полинома B ₀(z) следует выделить делением A (z) на B ₀(z)нулевую составляющую и остаток, после чего представить изображение в виде

Здесь f (r) — значение оригинала в момент п= r. Далее можно воспользоваться формулой (*), заменив в ней A (z)на A ₀(z).

е) Пусть изображение F (z)имеет полюс z_l кратности r, aвсе остальные полюсы простые:

причем степень числителя меньше степени знаменателя. Тогда оригинал будет

(**)

Эта формула справедлива для п > 1. При п = 0 значение оригинала f (0) = 0.-Для случая двойного корня (r = 2) формула (**) приобретает вид

Например, если

то

В случае, когда степень числителя F (z)равна степени знаменателя, следует аналогично изложенному выше выделить член нулевого порядка f (0) делением числителя на знаменатель и рассматривать далее остаток от деления.