Глава 2. Магия формул.

 

№4.

 

Условие: остроугольный равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, проведена средняя линия треугольника с концами E и F на стороных AB и AC. Высота треугольника CD пересекаются в точке L. AD=a, CD=h, угол DCB равен b.

 

Доказать: CL=(a*\tg{b}+h)/2.

 

№5.

 

Условие: равнобедренная трапеция ABCD с основаниями BC и AD, причём AB=AD=CD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K.

 

Доказать: cos K=(AD-BC)/2

 

№6.

Условие: равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. Биссектрисы AD и CE. Радиус описанно окружности трапеции CDEA равен R, а радиус вписанной окружности треугольника равен r.

 

Доказать: CE(CE-CD)=2Rr

 

№7.

 

Условие: на катете BC прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AC построена полуокружность, так что вся её часть, кроме точек B и C, лежит внутри угла ABC.

Доказать: окружности, вписанные в треугольники ABC и BEC, где E- точка на полуокружности, касаются тогда и только тогда, когда AC=CE+AB.

 

№8.

 

Условие: прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC. Медиана AD, на неё из точки B опущен перпендикуляр BE. Угол C равен a.

 

Доказать: EC=BE/sina.

 

№9.

 

Условие: в окружности проведён диаметр AB и хорда CD, пересекающая его в точке E под данным углом. Из точки A опущен перпендикуляр AK на CD, а из точки B--перпендикуляр BL на этот же отрезок.

Доказать: величина СE^2+ED^2+2(LE*KE-BL*AK) не зависит от выбора хорды CD.

 

№4. Продолжим прямую СD до пересечения с прямой, проходящей через точку A и параллельной BС, в точке P. По свойству трапеции, точки E, L, F лежат на одной прямой. Ясно, что CP=a*tgb+h, тогда CL=(a*tgb+h)/2, ч.т.д.

№5. Обозначим середины диагоналей AC и BD трапеции как K и L. Известно, что (AD-BC)/2=KL. С другой стороны, AD*cosK=KL. Отсюда cosK=(AD-BC)/2, ч.т.д.

№6. Эту формулу легко рассчитать. Поэтому автор ограничивается указанием: нужно использовать свойство бисскетрисы треугольника, формулу радиуса вписанной окружности для равнобедренного прямоугольного треугольника и усиленную теорему синусов.

№7. Указание: выразите длины отрезков CP и BT через стороны треугольгиков BEC и ABC, затем проверьте, что выполняется равенсто BC-BT-CP=r_1+r_2.

№8. BD^2=ED*AE=CD^2, поэтому угол ECA равен углу EAC. Из этого нетрудно вывести, что углы С и DEC равны. Опустим из т очки C перпендикуляр CF на прямую AD. Из равенства треугольников BED и CFD следует, что BE=CD, поэтому CE=BE/sina, ч.т.д.

№9. Проведём хорду PQ, симметричную хорде CD относитльно хорды AB. Ясно, что верны равенства CE*DE=AE*BE (1), AE*BE*sin^2{a}=CE*DE*sin^2{a} (2), AE*BE*cos^2{a}=CE*DE*cos^2{a}(3). Вычтя первое из второго, получим постоянную величину CQ=DP, т.к. CE^2+DE^2-2CE*DE*cos2a—постоянная величина, а cos{2a}=cos^2{a}-sin^2{a}.