Работа 2. «Об углах и некоторых теоремах, связанных с ними».

 

Параграф 1. Использование равенства углов при основании треугольника.

Занятие 1. Простейшее использование.

Занятие 2. Нахождение углов с использованием равенств углов при основаниях двух или нескольких равнобедренных треугольников.

Занятие 3. Данное свойство и доказательство несуществования некоторых конструкций с множествами равных отрезков

Параграф 2. Прямоугольный треугольник и его вписанная окружность.

Занятие 4. Прямоугольный треугольник и диаметр его вписанной окружности.

Занятие 5. Прямоугольный треугольник, его вписанная и описанная окружности и вспомогательная окружность.

Занятие 6. Прямоугольный треугольник, его вписанная окружность и вспомогательные равные треугольники.

Параграф 3. Применение одной важной теоремы из геометрии вписанного четырёхугольника.

Занятие 7. Формулировка и различные доказательства данной теоремы.

Занятие 8. Простейшие следствия данной теоремы.

Занятие 9. Данная теорема и деление углов в необычных отношениях.

сумме двух других.

 

Параграф 1. Использование равенства углов при основании равнобедренного

Занятие 1. Простейшее использование.

№1. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC.

Постройте на прямой AC точку D, такую, чтобы угол ADB был равен полуразности углов A и B (Угол A больше угла B).

№2. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. На этом основании и на боковой стороне BC взяты точки D и E соответственно, так что CD=CE.

Докажите, что если четырёхугольник ABED окажется вписанным, треугольник ABC—равносторонний.

№3. Дана окружность и различные её хорды AB и CD. Их точка пересечения—E; на хорде Cd взята точка E, причём CE=AE и FB=FE.

Доказать: треугольники AEC и DEB—равносторонние тогда и только тогда, когда точка F совпадает с точкой B.

№4. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AС; высота CD. Отрезки CE и BE равны между собой и отрезку CD; точка E находится вне треугольника ABC. Угол ABC равен a, угол BDE равен b.

При каких a и b угол ABE—острый?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

1). Углы при основании равны.

У треугольника, что равнобедренный,

Углы при основании равны,

И пусть нельзя нам их измерить метрами,

Но градусы—подобие длины.

Альтернатива равнодостижения,

Взгляд изнутри на этот сложный мир

Помогут людям в жизни, без сомнения,

Как помогает им и пенье лир.

Занятие 2. Нахождение углов с использованием равенств углов при основаниях двух и нескольких равнобедрнных треугольников.

№5. Условие: равнобедренный треугольник ABC; на стороне BС взята точка D так, что перпендикуляр к BC в этой точке пересекает AB в такой точке E, что DE=AE.

Найти: угол DAC.

№6. Условие: в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена высота AD, в треугольнике ADB проведенак высота DE, и на ---------прямой DE отмечена точка F, так что CD=DF.

Найти: угол ACF.

№7. Условие: из точки B проведено три равных отрезка: BA, BC и BD, причём bC лежит между BA и BD. На отрезке BC взята точка E, так что DE=BD и луч DE перпендикулярен стороне AB.

Найти: угол, который образуют прямые AC и BD.

 

 

2) Счёт углов в равнобедренном треугольнике.

Если угол при общей вершине

Боковых сторон «альфа» нам дан,

Из прямого его половину

Только вычтя, получим с тобой

В треугольнике угол второй.

 

 

Занятие 3. Данное свойство и доказательство несуществования некоторых конструкций с множествами равных отрезков.

№8. Условие: в равнобедренном треугольнике с основанием AC проведена высота BD. На отрезках BD и CD как на основаниях во внешнюю сторону построены равносторонние треугольнике DEB и CFD.

Доказать: отрезок EF не может проходить через вершину A.

№9. Условие: внутри остроугольного равнобедренного треугольника с основанием AC взята точка D, так что AD=CD. К отрезку AC в точке C проведён перпендикуляр DE, равный ему так, что угол CDE—острый.

Доказать: отрезок BE не может быть равен боковой стороне треугольника ABC.

№10. Условие: равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Из точки B на биссектрису угла BAC опущен перпендикуляр BD.

Доказать: отрезок BD не может быть равен отрезку CD.

 

 

3) О длинах через углы.

Сам факт того, что два угла равны

Уже и означает то, что можно

Без ввода длин порой узнать длины

Ряд свойств, быть может, даже очень сложных.

Существованье комплекса отрезков

Иль невозможность этой «красоты»...

Но не стремитесь вывод делать резкий,

Что с мерами углов мы высоты

Научной уж достигнем, для сего

Подумайте, когда по этим только мерам

Про длины мы не скажем ничего?

Задачи были только лишь примером!

___________________________________________________________________

№1. Отметим на прямой AC такую точку E, что угол CBE равен углу ABC. Затем ставим ножку циркуля на место точки E и проводим окружность с центром в ней и радиусом, раным по длине отрезку EB. Обозначим нужную точку пересечения этой окружности и прямой AC.

№2. Угол CDE равен углу CED и углам A и B.Но угол A равен углу C. Плэтому все углы треугольника ABC будут равны, т.е. он равносторонний.

№3. Так как треугольник ACE—равнобедренный, углы ACE и CAE равны и, по теореме о вписанном угле, они равны углам EBD и EDB. Но EB=ED и EB=BD возможно только когда тиреугольник EBD равностороннмий

№4. Угол EDC равен 90-b, а угол DCB равен 90-a, поэтому угол BCE равен из теоремы о сумме углов в треугольнике 2b+a-90, так же, как и равный ему по исследуемой теореме угол CBE. Поэтому должно выполняться неравенство 2b+2a-90<90, т.е. a+b<90.

№5. Пусть угол ABC равен a. Тогда угол BED равен (90-a), а угол BAD равен (45-a/2). Так как угол A равен (90-a/2), то угол DAC равен 45 градусам.

№6. Пусть угол ABC равен a. Тогда угол BDE равен 90-a и угол DCE равен (45-a/2), и, аналогично предыдущей задаче, угол ACE равен 45 градусам.

№7. Обозначим угол CBD как a, а угол ABC как b. Тогда ясно, что 2a=90-b и угол между высотой и биссектрисой BE треугольника ABC и отрезком BD равен 45 градусов, отсюда искомый угол составляет такую же величину.

№8. Угол ADE равен 30 градусам, так же, как и угол ADF (но по разным причинам: первый из счёта углов, а второй по исследуемому свойству). Поэтому прямые AF и DE параллельны и не могут иметь общих точек, в том числе и проходить через какую-либо общую точку. Поэтому отрезок EF не может проходить через вершину A.

№9. Предположим, чтот такая конструкция существует. Тогда угол EAC равкен половинам углов CDE и CBE по теореме о вписанном угле, и точки C, D, B, E лежат на одной окружности, откуда угол DBC равен 45+a/2 и угол ABc равен 90+a, т.е. тупой, а это невозможно по условию.

№10. Обозначим угол ABC как a. Из счёта углов несложно получить, что угол ADC в случае, который нужно опровергнуть, равен 90-3a. Поэтому должно выполняться равенство: 2a-90-(3a/2-90)=a, т.е. a/2=a, что неверно.

Параграф 2. Прямоугольный треугольник и его вписанная окружность.

Занятие 4. Прямоугольный треугольник и диаметр вписанной окружности.

№11. Условие: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B вписана окружность. Медиана треугольника BD пересекает её в точках E и F, причём первая более удалена от вершины B, чем вторая. В окружности проведён диаметр EK. Прямая FK пересекает BC в точке P.

Доказать: угол BPF равен углу BAC.

№12. Условие: в прямоугольный треугольник ABC с прямым углом вписана окружность с центром I. Отрезок CI пересекает окружность в точке D. DE—её хорда, параллельная BC. Проведён диаметр EF. Прямая FD пересекает прямую AC в точке N.

Доказать: угол DNC равен углу ABC.

4) Иногда полезно отдохнуть,

Трудное постигнувши в занятьях,

И на тему новую взглянуть

Поначалу с лёгким восприятьем;

Лишь потом, пройдя сей путь простой,

Обратимся к свойствам посложнее,

И нередко с темою другой

Этот путь продолжится позднее.

 

 

Занятие 5. Прямоугольный треугольник, вписанная и описанная окружности и вспомогательная окружность.

№13. Попробуйте в дополнение к задаче №12 доказать, что угол BDF меньше угла BED.

№14. Вокруг прямоугольного треугольника ABc с прямым углом B описана окружность и на дуге BC отмечена произвольная точка D. В треугольники ABC и ADC вписаны окружности с центрами I и K.

Может ли угол IBK равняться половине угла BAD?

№15. Условие: в прямоугольный треугольник ABc с прямым углом B вписана окружность с центром I. Отрезки BI и CI пересекают её в точках D и E соответственно.

Докажите: если катет AB меньше отрезка, длина которого равна двум диаметрам данной окружности и угол A равен a, то угол BAD меньше величины a/4.

5) Углубляясь в знание предмета,

Удивляемся мы, дети, вновь;

Тайнами наполнена планета,

Но за ними всё равно—Любовь.

Это сей общаемся мы с верой,

Что красоты все—лишь от неё,

А длина и градусная мера

Только приближают к нам её.

Занятие 6. Прямоугольный треугольник, его вписанная окружность и вспомогательные равные треугольники.

№16. Условие: в прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B вписана окружность, касающаяся сторон AB и Bc в точках C_1 и A_1. Диаметры A_1A_2 и C_1C_2 таковы, что точки A, A_2 и C_2 лежат на одной прямой.

Докажите, что для треугольника ABC справедливо свойство задачи №15.

№17. Условие: в прямоугольный треугольнике ABC вписана окружность с центром I. На ней отмечены точки E и F так, что угол EIF равен 135 градусам.

Докажите, что AF=CE тогда и только тогда, когда AB=BC.

№18. Условие: в прямоугольном треугольнике ABC вписана окружность с центром I и отмечена точка касания этой окружности и гипотенузы треугольника D. К стороне BC в точке C проведён перпендикуляр CE, так что CD=CE.

Доказать: если некоторая прямая проходит через E и отсекает от треугольника ABC равнобедренный треугольник, то его боковая сторона может быть равна радиусу впианной окружности треугольника ABC.

 

6) Бывает, сложное постигнув,

Мы думаем, что знаем тему,

Но я стремлюсь всё ж Вас сподвигнуть

Взирать поглубже на проблемы.

 

Здесь строгости самой ответа

Нельзя потребовать прям сразу,

Но глубину сего предмета

Увидеть должен, люди, разум.

№11. Так как угол BFK—опирающийся на диаметр, он прямой. Поэтому, из счёта углов получаем, что углы BJF и FBP равны, и, по свойству медианы прямоугольного треугольника, углы BDC и ACB также равны. Поэтому углы BJF и ACB равны.

№12. Так как DE||BC, угол, образуемый прямой DE и прямой AB, равен углу ABC. По теореме о вписанном угле, угол DNC такж равен этому углу. Поэтому и угол DNC равен углу ABC.

№13. Обозначяим точку пересечения прямой EF и AB—K, а DE и BC—N. Ясно, что угол BKN меньше угла BND а угол BND меньше угла BED—это мы получим, дважды применив теорему о вписанном угле, Но угол BED равен углу BKN. Отсюда получаем, что угол BKD меньше угла BED, что и требовалось.

№14. Заметим, что угол AKI меньше угла AKC, который равен 135 градусам. Продолжим прямые BI и AK до пересечения в точке P, причём отрезок BP пересекант отрезок KC в точке в точке Т. Так как угол ANB равен углу AKB и угол AIN больше угла ANB, то и угол AKB больше угола AIB., и отсюда ясно, что угол KBI меньше половины угла BAD.

№15. Продолжим отрезок AD пересекает катет BC в точке L. Если середина отрезка AL—точка M—лежит вне окружности, прямая CE пересекает отрезок AL также внутри окружности, и поэтому угол ADE—острый.

Угол IDE равен 45-a/4 пор теореме о сумме углов в треугольнике, применённой к треугольника ABC, а затем BIC. Угол EBC равен a/4. Поэтому угол BAD меньше a/4.

№16. Так как IA_2=IC_2 и они перпендикулярны, то угол C_!C_2A_2, а по условию, и угол C_1C_2A равен 45 градусам. Следовательно, AC_1=C_1C_2=2r, где r-радиус вписанной окружности треугольника ABC. BC_1=r, поэтому AB=3r, AB<4r, и тогда для треугольника ABC этой задачи применимо свойство задачи №15.

№17. Так как угол AIC равен 135 градусам, он равен по условию углу EIF, поэтому углы EIA и FIC равны. Отрезки I]E и IF равны как радиусы одной окружности. Если IA=IC, то треугольники EIA и FIC равны, и AE=CF. Если же EA=FC, эти треугольники также равны, так как углы AEI и IFC или одновременно острые или одновременно тупые (попробуйте самостоятельно обосновать последнее более строго).

№18. Несложно обосновать, что эта прямая будет перпендикулярна отрезку CI. Поэтому углы ICG и GEC равны (пусть данная прямая пересекает гипотенузу AC и катет BC в точках D и E соответственно). Тогда треугольники GCE и IDC равны, и в случае CG=CА эти отрезки равны радиусу ID. Конечно, данные отрезки могут быть и не равны (тогда GF=FC)

 

 

Параграф 3. Применение одной важной теоремы на геометрию вписанного четырёхугольника.

Занятие 7. Формулировка и различные доказательства данной теоремы.

№19. Докажите теорему тремя способами, как можно более рационально.

7) Решая всякую задачу

По-разному, не тратьте время зря,

Ведь всякое решение и значит,

Чтоб голова связь свойств вещей нашла.

И даже приходя к идеям сходным,

Что кто-то первым сам давно изрек,

Мы всё равно творим, творим свободно,

Ведь уникален каждый человек.

 

Занятие 8. Простейшие следствия данной теоремы.

№20. Точки пересечения данных биссектрис обрауют вершины ромба.

№21. Расстояние от точки пересечения данных биссектрис до середины диагонали полного четырёхсторонника, отличной от диагоналей AC и BD, равно половине длины этой диагонали.

№22. Пусть дан вписанный четырёхугольник ABCD, и прямые, содержащие противолежащие непараллельные стороны AB и CD и BC и AD пересекаются в точках E и F соответственно, точка пересечения исслелдуемых биссектрис—K, и из точки E опущен перпендикуляр EG на прямую CD.

Доказать: угол KEG равен половине угла AFC.

8) Иногда, чтоб составить задачу,

Нужно выявить свойства объектов,

И в трудах улыбнётся удача,

Как и Вам улыбается лектор.

 

Занятие 9. Данная теорема и деление углов в необычных отношениях.

№23. Условие: ABCD-вписанный и не является прямоугольником; его противолежащие стороны AB и DC продолжены до пересечения в точке E; BC и AD продолжены до пересечения в точке F; в треугольнике AED отмечен центр вписанной окружности I; из точки F проведён луч, делящий угол AFB в отношении 1:3.

Доказать: этот луч перпендикулярен биссектрисе угла AID.

№24. Условие: в прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A вписана окружность с центром I, и на окружности взята точка D, так что AD=DC, причём отрезок AD пересекает эту окружность в точке E. Прямые EI и CD пересекаются в точке F. Прямая, содержащая биссектрису угла ADC, пересекает прямую AB в точке K.

Найдите условие, при котором угол AKF равен одной четвёртой угла DAC.

9) Постигая сложный мир науки,

Постепенно всё сильнее и сильней,

Видим мы, разгнавши чары скуки,

Связь далёких друг от друга областей.

___________________________________________________________

№19. 1-е решение. Пусть в данную окружность вписан четырёхугольник ABCD, у которого нет параллельных сторон и его противолежащие стороны продолжены до пересечения в точках E и F. Так что точка E лежит на прямой AB. Обозначим угол AED как a, угол AFB как b, угол FEC как с, угол BFE как d. Тогда угол ECF равен 180-c-d, значит, угол A равен c+d. Проведём биссектрисы углов AED и AFB, пересекающие стороны четырёхугольнгика BC, AD, CD и AB в точках L, N, M и K соответственно. Тогда угол END равен по теореме о внешем угле a/2+c+d. Предположим теперь, что существует прямая, проходящая через E и образующая со стороной AD угол величной 90-b/2. Тогда угорл NLF равен 90-b/2 но это и значит, что прямая EL является биссектрисой угла AED.

2-е решение.Более сложное. Последуем тем же обозначениям. Угол NKF равен a/2+c+d. Аналогично угол KME равен с+d+b/2. Угол BCD равен 180—c-d. Сумма этих трёх углов равна 180+c+d+a/2+b/2 и равна сумме углов FKN, ENK и развёрнутого угла. Отсюда, применив теорему о сумме углов треугольника к треугольнику KNE, можно заключить, что отрезки EN и FK перпендикулярны. Но было сделано предположение, что LM||KN. Тогда нужно это доказать. Для этого можно использовать метод от противного: именно, чтобы для всех точек, из которых отрезок EF виден под прямым углом, только для одной было верно, что ML||KN.

3-е решение. Ещё более сложное. Последуем тем же обозначениям. На этот раз проведём сразу указанные биссектрисы и докажем, что сумма углов NLF и KME равна сумме углов EKF и ENF. Обозначим их различные величины как e и f, а угол между биссектрисами как x. По теореме о сумме углов в треугольнике угол C равен 360- x-e-f. Угол A равен x+e+f-180, следовательно, сумма углов AKF и ANE равна (540-2x-e-f),значит, искомая сумма равна 2x+e+f-180. Если 360-x-e-f=2x+e+f-180. e+f=a/2+c+b/2+d=> 3x=540-a-b-2c-2d, т.е. 3x=540-A-(180-A)=3x, и, таким образом, x=90.

№20. Заметим, что треугольники, которые отсекают биссектрисы от углов, образованных прямыми, содержащими противолежащие непараллельные стороны вписанного четырёхугольника, равнобедренны. Биссектрисы, проведённые к основанию в них, являются и медианами. С другой стороны, они являются и высотами. Поэтому искомый четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, делящиеся точкой пересечения пополам, т.е. является ромбом.

№21. Так как отрезок, выражающий исследуемую величину, является медианой в прямоугольном треугольнике, проведённой из прямого угла, он равен половине его гипотенузы, отсюда утверждение.

№22. Обозначим вписанный четырёхугольник ABCD, вершины углов, образованных непараллельными прямыми, содержащими противолежащие стороны четырёхугольника,--E (AB и CD)и F (BC и AD), из E опустим перпендикуляр на прямую CD—EF, точку искомых биссектрис обозначим M. Из утверждения следует, что четырёхугольник EMDF--EMDF—вписанный, отсюда утверждение.

№23. Обозначим угол AED как a и пересечение одной из упомянутых биссектрис, исходящей из точки F и отрезками DE, ID, IA в точках G, H, K соответственно. Тогда углы KIH и KGD равны из счёта углов, поэтому углу IDE и IKH равны, поэтому четырёхугольник AKHD—вписанный и для него верно утверждение главы. Отсюда—утверждения данной задачи.

№24. Пример такого условия: возьмём точку P на прямой AC такую, что PA=PD. Условием будет то, что отрезок PD проходит через центр I. Докажите это условие самостоятельно!
___________________________________________________