Завдання 1. КРИТЕРІЇ ПОБУДОВИ ОПТИМАЛЬНИХ ФІЛЬТРІВ.

У практиці обробки даних використовуються три основні критерії побудови оптималь-них фільтрів: мінімум середнього квадратичного відхилення профільтрованого сигналу від його дійсного або заданого значення, максимум відношення сигнал / шум і максимум енерге-тичного відношення сигнал / шум на виході фільтра. Критерії виходять з ймовірнісно - статисти-чеський моделі оброблюваних даних. При аналізі та синтезі фільтрів використовується адитивна модель вхідного сигналу: x (k) = s (k) + q (k), де s (k) - корисна складова сигналу, q (k) - склад-ляющая шумів і перешкод. Синтез оптимальних фільтрів виробляється з максимальним вико-ристанням відомої інформації як про сигнали, які необхідно виділити, так і про шуми і перешкоди. Як правило, використовується інформація про природу корисного сигналу і шуму, про їх спек-центральному складі, про кореляційних і взаємних кореляційних характеристиках. Наявність оп-ределенних особливостей (відмінностей) в характеристиках сигналу і шуму дозволяє реалізувати фільтр взагалі і оптимальний фільтр зокрема.

В геофізичної практиці апріорні дані про корисні сигналах є достатньо визначеними, особливо для активних методів геофізики (сейсмічні методи, електрораз-ведка на змінному струмі, індукційні методи ядерної геофізики та ін.) Визначення характе-ристик діючих перешкод являє собою більш складну проблему, але навіть при повній невизначеності можна допустити, що перешкода є нормальним стаціонарним процесом з нульовим середнім значенням.

Середнє квадратичне відхилення. При наявності перешкод точне виділення корисного сигналу методами лінійної фільтрації, як правило, неможливо. Результат фільтрації y (k) = h (n) ③ x (kn) (12.2.1)

відрізняється від s (k) на величини  (k) = y (k)-s (k), які є абсолютними значеннями по-похибки відтворення корисного сигналу за координатами k. Якість фільтра оцінюється середнім значенням квадрата величини  (k):

У багатьох задачах аналізу даних не потрібно відновлення вихідної форми сигналу s (k), тому що в процесі його подальшої обробки здійснюється перетворення сигналу s (k) в сиг-нал z (k), форма якого може бути більш зручною для вилучення (вимірювання) будь-яких ін-формаційних параметрів сигналу (амплітуди, частоти, тривалості і т.п.). В цьому випадку фільтр може проектуватися безпосередньо на отримання вихідного сигналу z (k). Якість таких формують фільтрів оцінюється середнім значенням квадрата величини  (k) отримання сигналу заданої форми:

Вирази (12.2.2) дають можливість визначити значення h (k) фільтра за критерієм ми-нимума середнього квадратичного відхилення вихідного сигналу від його дійсної або за-даної форми.

Амплітудне відношення сигнал / шум. При постановці завдання виявлення (встановлення факту наявності) в експериментальних даних сигналу відомої форми для проектування фільтра використовується критерій максимуму пікового відношення сигнал / шум на виході фільтра:

 а = yекс / , де yекс - екстремальне значення амплітуди сигналу,   - середньоквадратичне рівень значе-ний перешкод. Якщо в корисному сигналі відсутній чітко виражений екстремум, а сам сигнал дос-таточно протяжний по аргументу, то як критерій використовується відношення середніх квад-ратів амплітуд сигналу і шуму:

, (12.2.3) де y2 - середній квадрат амплітуди сигналу в межах його форми.

Енергетичне відношення сигнал / шум. При вузько конкретної задачі виявлення сигналу ступінь спотворення самого сигналу може не обмежуватися. Якщо крім виявлення сигналу, як основної мети обробки даних, ставиться і завдання оцінки його форми, то в цьому випадку для проектування фільтра зазвичай використовується критерій максимуму енергетичного відносини сигнал / шум:

Еy / Eq, (12.2.4)

де Еу і Eh - енергія відповідно сигналу і шуму на виході фільтра.