Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1. Определить амплитуду A_Р вынужденных колебаний при резонансе, если при очень малой (по сравнению с собственной) частоте вынужденных колебаний она равна А ₀ = 0,10 см, а логарифмический декремент затухания Q =0,010.

ДАНО: А 0 = 0,10 см Q =0,010	СИ 10–3 м
AР –?

АНАЛИЗ. В задаче рассматривается резонанс вынужденных колебаний.

РЕШЕНИЕ. Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе (w=w _Р) достигает максимального значения А_Р согласно формуле (1.4.5): .

Найдем значения величин f ₀ и b. Учтем, что амплитуда вынужденных колебаний определяется по формуле (1.4.2) .

Из условия задачи следует, что w<<w₀ при А = А ₀, поэтому , и . Значение f ₀ подставим в соотношение (1.4.5):

.

Считая затухание b малым по сравнению с собственной частотой w₀ осциллятора, получим: .

Найдем затухание b по известному значению логарифмического декремента затухания из соотношения (1.3.9) , т. е. . При затухании период Т затухающих колебаний, которые начались бы после прекращения действия вынуждающей силы, мало отличается от периода Т ₀ собственных колебаний, т. е. Т» Т ₀» 2 p / w₀. В результате , и . Подставим это значение b в выражение (1.4.6): = 0,31 см.

ОТВЕТ: А_Р = 0,31 см.

 

ЗАДАЧА 2. Определить жесткость пружин рессор вагона, масса которого с грузом 50 тонн, если при скорости u = 12 м/с вагон начинает сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках. Длина рельса 12,8 м. Вагон имеет четыре рессоры.

ДАНО: кг u = 12 м/с м

АНАЛИЗ. В задаче рассматривается динамика вынужденных колебаний, вызванных ударами колес на стыках рельс. Раскачка вагона усиливается вследствие резонанса между собственными колебаниями вагона и вынуждающей силой.

РЕШЕНИЕ. Пренебрегая затуханием, будем считать, что резонанс наступает, когда период Т ₀ собственных колебаний вагона совпадает с периодом вынуждающей силы (Т = Т ₀). Период вынуждающей силы равен времени прохождения вагоном длины рельса:
с, где – длина рельса, u – скорость вагона. По условию период Т ₀ собственных колебаний вагона связан с коэффициентом упругости, определяющим жесткость пружин рессоры по формуле: , и , где m ₀ – масса вагона, приходящаяся на одну рессору. Считая, что на одну рессору приходится , получим m ₀ = 12,5×10³ кг. В результате жесткость пружины рессоры определится как

(Н/м).

ОТВЕТ: Н/м.

 

ЗАДАЧА 3. Тело массой т подвешено на пружине (ее жесткость ) и опущено в жидкость (рис. 1.4.3). Посредством гибкой нити пружина крепится к эксцентрику диска, находящегося на оси мотора. В зависимости от угловой скорости w диска на тело будет действовать вынуждающая сила . Найти скорость колебаний, смещение и резонансную частоту этого осциллятора. Коэффициент сопротивления жидкости считать равным r.

ДАНО: т, , w, r

АНАЛИЗ. В задаче исследуется динамика вынужденных колебаний под действием упругой, вязкой и вынуждающей сил. Для получения уравнения колебаний следует воспользоваться вторым законом Ньютона.

Рис. 1.4.3

РЕШЕНИЕ. На тело в жидкости (рис. 1.4.3) действуют: вынуждающая сила ; сила тяжести ; сила Архимеда ; сила сопротивления жидкости ; сила упругости пружины , единичный вектор, направленный вдоль оси ОХ.

Запишем второй закон Ньютона:

.

Уравнение спроектируем на ось ОХ, учитывая, что :

, (1.4.8)

где V – объем тела. Продифференцируем (1.4.8) по времени и проведем преобразования:

.

Обозначив , , , получим дифференциальное уравнение:

. (1.4.9)

Уравнение (1.4.9) линейное с постоянными коэффициентами, неоднородное. Его решение будем искать в виде

, (1.4.10)

где u₀ – амплитуда скорости, a – разность между фазами скорости и вынуждающей силы. Величины u₀ и a найдем, подставив (1.4.10) в уравнение (1.4.9).

Для этого найдем: , . Значения подставим в уравнение (1.4.10):

.

Представим тригонометрические функции от сложного аргумента в раскрытом виде:

тогда

(1.4.11)

Уравнение (1.4.11) обратится в тождество, если в обеих частях равенства коэффициенты при , а также коэффициенты при будут равны. В результате получим систему из двух уравнений, в которых неизвестными являются величины амплитуды скорости u₀ и сдвиг фаз a:

, (1.4.12 а)

. (1.4.12 б)

Из уравнения (1.4.12 а) получим:

Следовательно, разность фаз между скоростью и вынуждающей силой равна .

Проверим размерность:

Чтобы найти амплитуду скорости, нужно возвести в квадрат и почленно сложить уравнения (1.4.12 а) и (1.4.12 б): , тогда

В результате получим: (1.4.13)

Найдем смещение х: ,

, где – амплитуда смещения х.

Учитывая (1.4.13), определим амплитуду смещения х ₀:

(1.4.14)

Чтобы найти резонансную частоту w _Р, продифференцируем выражение (1.4.14) по времени и приравняем к нулю. В результате получим:

После математических преобразований запишем: , и , что согласуется с (1.4.4).

проверим размерность:

Таким образом, скорость u и смещение х изменяются по гармоническому закону с частотой, равной частоте вынуждающей силы: , .

Смещение х отстает по фазе от скорости u на . Скорость опережает по фазе вынуждающую силу F на a.

ОТВЕТ: , , .

 

ЗАДАЧА 4. Шарик массы m, подвешенный на невесомой пружине, может совершать вертикальные колебания с коэффициентом затухания b. Собственная частота колебаний w₀. Под действием внешней вертикальной силы, меняющийся по закону: , шарик совершает установившиеся колебания. Найти: 1) среднюю за период колебания мощность < Р > силы F; 2) частоту вынуждающей силы, при которой < Р > максимальна; 3) величину максимальной мощности < Р >.

ДАНО: m, b w0

< Р > –? < Р >max –?

АНАЛИЗ. Задача на динамику вынужденных колебаний. При решении необходимо воспользоваться вторым законом Ньютона.

РЕШЕНИЕ. Под действием силы шарик совершает вынужденные колебания с частотой w вынуждающей силы. Перемещение шарика, который можно рассматривать как материальную точку, происходит по оси ОХ (рис. 1.4.4).

Сила F_х изменяется со временем. Найдем элементарную работу , которая совершается вынуждающей силой за время dt:

Рис. 1.4.4

(1.4.15)

где – скорость шарика. Определим скорость шарика. Проекция силы на ось ОХ изменяется по закону . Второй закон Ньютона, описывающий движение шарика, в проекции на ось ОХ запишем как: . Введем обозначения , , , тогда уравнение колебаний имеет вид:

. (1.4.16)

Решением этого дифференциального уравнения будет гармоническая функция. Смещение х колеблющегося тела от положения равновесия вдоль оси ОХ определится как:

. (1.4.17)

Величина амплитуды А ₀ и сдвиг по фазе j между смещением и вынуждающей силой определяется при подстановке решения (1.4.17) в дифференциальное уравнение (1.4.16) как

, (1.4.18)

. (1.4.19)

Найдем скорость колеблющегося шарика, продифференцировав (1.4.17) по времени:

.

Элементарная работа, совершаемая вынуждающей силой, определяется по формуле (1.4.15), подстановкой значений u и F:

.

Элементарная работа знакопеременна; > 0, когда скорость точки и вынуждающая сила изменяются во времени без сдвига по фазе.

Мгновенная мощность определяется как , а ее среднее значение за период равно , .

Функцию представим, используя тригонометрическую формулу для синуса суммы двух углов: . Тогда получим и

Интегрирование по переменной t в пределе от нуля до T соответствует интегрированию по переменой w t в пределе от 0 до 2p, поэтому

; .

Подставим найденные значения интегралов и величину А ₀из равенства (1.4.18). В результате средняя мощность силы F равна

,

т.е. .

Выразим sinj через величины w₀, w,b, используя равенства (1.4.18) и (1.4.19). Учтем, что .

После математических преобразований запишем:

.

Отсюда получим

Следовательно,

(1.4.20)

Проверим размерность:

Мощность вынуждающей силы за период максимальна, если скорость колеблющегося шарика и вынуждающая сила изменяются со временем без сдвига по фазе, т. е. , и , а . Тогда, как следует из формулы (1.4.19), . Таким образом, скорость шарика и вынуждающая сила изменяются со временем без сдвига по фазе, если циклическая частота вынуждающей силы равна собственной частоте колебаний шарика. Следовательно, наибольшее значение средней мощности определяется из равенства (1.4.20), при : .

ОТВЕТ: ; ;

.

 

ЗАДАЧА 5. Найти период автоколебаний стержня массой m, лежащего на двух шероховатых валиках, вращающихся в противоположных направлениях с одинаковыми угловыми скоростями w. Расстояние между осями валиков см. Коэффициент трения между стержнем и валиком равен m= 0,18. (рис. 1.4.5).

ДАНО: m см m= 0,18	СИ     0,2 м

АНАЛИЗ. В задаче определяются условия возникновения автоколебаний стержня, расположенного на двух вращающихся валиках. При этом гармонические колебания происходят, если возвращающая сила в процессе колебания изменяется пропорционально смещению и направлена к положению равновесия. В задаче используются законы динамики для поступательного и вращательного движений.

Рис. 1.4.5

РЕШЕНИЕ. Выберем систему координат, начало которой О совпадает с центром масс стержня, когда он находится посередине между осями валиков; ось ОХ направим вдоль стержня. В некоторый момент времени принятый за начальный, стержень выведен из этого положения, в результате чего его центр масс О отклонился на величину х по оси ОХ.

На стержень действует сила тяжести , а со стороны валиков действуют силы реакции и и силы трения и . Сумма проекций этих сил на ось ОY равна нулю:

, (1.4.21)

т. к. стержень вдоль оси ОY не перемещается. Стержень не вращается в вертикальной плоскости, поэтому сумма моментов сил относительно точки В равна нулю. На стержень относительно точки В действуют: момент силы тяжести , направленный по оси ОZ и имеющий модуль , т. к. , , и момент силы , равный , направленный в сторону, противоположную оси ОZ и имеющий модуль , т. к. , . В результате в проекции на ось ОZ получим , отсюда . Значение подставим в равенство (1.4.21) и найдем : . Стержень проскальзывает относительно блоков, и силы трения определяются по формулам: , .

Уравнение движения стержня вдоль оси ОХ согласно второму закону Ньютона имеет вид: , иначе , или .

Положительную величину обозначим , т. е.

. (1.4.22)

В результате получили уравнение колебаний – дифференциальное линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Решением этого уравнения будет гармоническая функция , где определяется из равенства (1.4.22). Стержень совершает гармонические колебания с периодом , с.

ОТВЕТ: с.

ЗАДАЧА 6. В колебательном контуре (рис. 1.4.6) емкость конденсатора изменяется скачком от значения С ₁ до С ₂ и обратно с периодом Т. Определить условия параметрического возбуждения колебаний, если добротность контура Q, а период собственных колебаний Т ₀ = 2 Т.

ДАНО: С 1, С 2 Т, Q, L 0 Т 0 = 2 Т

АНАЛИЗ. В задаче определяются условия, необходимые для возбуждения в LCR – контуре параметрических колебаний, возникающих при изменении емкости С с периодом .

Рис. 1.4.7

Рис. 1.4.6

РЕШЕНИЕ. Представим процесс, происходящий в колебательном контуре (рис. 1.4.6.) на фазовой плоскости осциллятора (рис. 1.4.7). Пусть в начальный момент времени, когда фаза колебаний равна нулю (точка А), емкость конденсатора мгновенно падает от значения С ₁ до значения С ₂. В этот момент частота колебаний осциллятора увеличивается до значения . Если закон изменения заряда , то его колебательная скорость , а, следовательно, колебательный импульс окажутся больше тех значений, которые они имели бы при неизменной частоте : . В результате точка на фазовой плоскости будет двигаться не по окружности , а по эллипсу, вытянутому вдоль оси Р: . В момент, когда фазовая точка пересекает ось Р, она окажется не в точке , лежащей на окружности радиуса А, а в точке В, отстоящей дальше от начала координат и лежащей на эллипсе. В этот момент по условию задачи емкость мгновенно увеличивается от значения С ₂ до С ₁, а частота w падает до значения w₁ < w₀. В результате движение точки происходит по эллипсу, вытянутому вдоль оси Q; его уравнение

.

При пересечении оси Q точка попадает в положение D, отстоящее от начала координат дальше, чем точка Таким образом, движение точки на фазовой плоскости происходит по раскручивающейся спирали, происходит “раскачка” колебаний. Чтобы возникло параметрическое возбуждение колебаний, необходимо, чтобы период Т изменения параметра (емкости С) был связан с собственным периодом контура соотношением: . В задаче n = 2, т. е. .

В контуре (рис. 1.4.6) есть потери энергии (на сопротивлении R выделяется джоулева теплота), которые должны приводить к скручиванию спирали на фазовой плосткости. Для возбуждения колебаний необходимо, чтобы эти потери энергии были меньше, чем энергия, подводимая к контуру извне при раздвижении пластин заряженного конденсатора (точка А). В этом случае для резкого уменьшения емкости конденсатора () внешние силы преодолевают притяжение пластин, увеличивая расстояние d между ними. Энергия конденсатора вырастает на величину , причем

,

где – энергия заряженного конденсатора. При увеличении емкости в точке В (сближение пластин) работа не производится, т. к. в этот момент
(q = 0) конденсатор разряжен. Изменения энергии не происходит. Еще раз энергия добавится в точке D цикла, когда для уменьшения емкости конденсатора внешними силами вновь раздвигаются пластины заряженного конденсатора. Таким образом, энергия добавляется дважды за период колебаний.

С другой стороны в контуре за время (участок фазовой траектории АВD) осциллятор теряет энергию: , где – потери энергии за период, Е – энергия осциллятора, Q – добротность осциллятора, в данном случае .

Для возбуждения колебаний необходимо, чтобы увеличение энергии конденсатора превосходило потери энергии (за половину периода ), т. е. .

Таким образом, условие параметрического возбуждения колебаний осциллятора с добротностью Q после подстановки значений и имеет вид: .

При условии осциллятор совершает незатухающие колебания, его фазовая траектория становится окружностью, он выходит на предельный цикл.

ОТВЕТ: Условие параметрического возбуждения колебаний осциллятора с добротностью Q имеет вид: .

 

ЗАДАЧА 7. Найти закон изменения напряжения на обкладках конденсатора С в релаксационном генераторе с неоновой лампочкой Л. Схема генератора изображена на рис. 1.4.8.

ДАНО: С, , x

АНАЛИЗ. Задача на электромагнитные колебания в релаксационном генераторе с неоновой лампочкой под действием внешней ЭДС. Лампочка Л представляет собой систему из двух электродов, промежуток между которыми заполнен неоном. Она является нелинейным элементом: если напряжение на конденсаторе меньше напряжения зажигания лампочки, (U_C < U _З) ее сопротивление бесконечно велико, ток через лампу не проходит; если напряжение U_C больше напряжения зажигания лампы, ток проходит через нее, причем сопротивление неоновой лампы стремится к нулю. В генераторе возникают незатухающие колебания.

Рис. 1.4.8

РЕШЕНИЕ. Уравнение зарядки конденсатора С можно получить, используя второе правило Кирхгофа:

, или .

Получили дифференциальное уравнение. Решим его методом разделения переменных:

;проинтегрируем: .

Используем начальные условия: t =0, q ₀ = 0 (конденсатор не заряжен, точка О на графике 1.4.9). Определив константу, найдем закон изменения заряда q на обкладках конденсатора при его зарядке со временем .

 

Рис. 1.4.9

 

Учитывая, что , получим закон изменения напряжения на конденсаторе U_С:

.

Зависимость изображена на рис. 1.4.9. участком графика ОВ.

Когда разность потенциалов на обкладках конденсатора достигает напряжения зажигания (U_C = U _З), в неоновой лампе начинается ионизация газа. Плазма в разрядном промежутке становится хорошим проводником, сопротивление лампы R_Л ® 0. В результате начинается релаксационный процесс разрядки конденсатора C (участок графика ВС на рис. 1.4.9). Уравнение разрядки конденсатора найдем, используя второе правило Кирхгофа для контура АDEF
(рис. 1.4.8): (R_Л << R ₁); .

Решая полученное дифференциальное уравнение методом разделения переменных, получим: и . Найдем const, учитывая, что при t = 0 заряд конденсатора q = q ₀= CU ₀, имеем тогда . Закон изменения напряжения на обкладках конденсатора при его разрядке через лампу Л имеет вид: . Графически решение представлено участком кривой ВС на рис. 1.4.9. Разрядка происходит до тех пор, пока напряжение на обкладках конденсатора выше напряжения U _Г гашения неоновой лампы. При U<U _Г сопротивление R _Л резко возрастает, ток через лампу прекращается, наступает процесс зарядки конденсатора.

За время горения лампы конденсатор разряжается от потенциала U_З зажигания до потенциала U _Г гашения по закону при . Энергия, запасенная в процессе зарядки конденсатора, полностью расходуется в процессе разрядки.

При происходит вновь зарядка конденсатора до по закону .

Процесс периодический, но изменение напряжения на обкладках конденсатора не является косинусоидальной (синусоидальной) зависимостью. Это связано с тем, что в схеме рис. 1.4.8. имеется нелинейный элемент (неоновая лампочка). Процесс релаксационный, т. к. восстанавливается равновесное состояние.

ОТВЕТ: – при зарядке конденсатора, – при разрядке конденсатора.

ЗАДАЧА 8. В цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора сопротивлением R =20 Ом, катушки индуктивностью L = 1,1 мГн и конденсатора емкостью C =0,10 мкФ действует синусоидальная ЭДС (рис 1.4.10). Определить частоту изменения ЭДС, при которой в цепи наступает резонанс. Найти действующие значения силы тока I и напряжений U_R, U_L, U_C на всех элементах цепи при резонансе, если действующее значение ЭДС x_Д = 30 В.

ДАНО: R = 20 Ом L = 1,1 мГн C = 0,10 мкФ xД=30 В	СИ   1,1×10–3 Гн 0,1×10–6 Ф
IД –? UR –? UL –? UC –?

АНАЛИЗ. Под действием переменной ЭДС в цепи, представляющей собой колебательный контур, установятся вынужденные электромагнитные колебания. При этом амплитудные значения тока I ₀ и ЭДС x₀ связаны по закону Ома (1.4.6).

Рис. 1.4.10

РЕШЕНИЕ. Для действующих значений величин тока и напряжения , существует такое же соотношение как и для их амплитудных значений (1.4.6)

. (1.4.23)

Максимальным будет значение тока I_Д для частоты при которой знаменатель выражения (1.4.23) минимальный. Это соответствует резонансной частоте w _Р, при которой обращается в нуль реактивное сопротивление .

Рис. 1.4.11

Следовательно, резонансная циклическая частота: рад/с. При этом сила тока согласно (1.4.23) равна А.

Используя закон Ома, определим значение напряжения на каждом из элементов контура R, L, C для найденного значения I_Д:

В; В; В.

При резонансе емкостное и индуктивное сопротивления равны, напряжения на них изменяются в противофазе (рис. 1.4.11.) и равны по величине.

ОТВЕТ: ; А, В; В; В.

ЗАДАЧА 9. Определить действующее значение силы тока на всех участках цепи, изображенной на рис. 1.4.12, если R = 1,0 Ом, L = 1,00 мГн,
С = 0,110 мкФ, = 30 В, w= 1,00×10⁵ рад/с.

ДАНО: R = 1,0 Ом L =1,00 мГн С = 0,110 мкФ =30 В w= 1,00×105 рад/с	СИ   1,00×10–3 Гн 0,110×10–6 Ф

АНАЛИЗ. В задаче рассматривается разветвленная цепь переменного тока: участок 1-2 является параллельным соединением двух ветвей, одна из которых содержит конденсатор С, другая – элементы R и L, соединенные между собой последовательно. Каждая из ветвей вместе с источником ЭДС образует колебательный (неполный) контур, поэтому силу тока в каждой ветви можно найти по формуле (1.4.23).

РЕШЕНИЕ. Для силы тока в ветви 1 С 2, где R = 0, L = 0, получим А. В ветви 1 LR 2, где отсутствует емкостное сопротивление , действующая сила тока:

А.

Если бы переменные токи в обеих ветвях имели одинаковые фазы, то сила тока в неразветвленной части цепи согласно первому правилу Кирхгофа была бы равна сумме сил токов и . Однако эти токи имеют различные фазы: между каждым из них и ЭДС существует сдвиг фаз, определяемых формулой (1.4.7): . Для ветви 1 С 2 R =0, L = 0, tgj _C = – ¥, j _C = – . Для ветви 1 RL 2 , получим ; . (см. диаграмму токов на рис. 1.4.13).

Таким образом, ток I_C, текущий через емкость, опережает по фазе ЭДС на , а ток – отстает по фазе от ЭДС на , т. к. . В результате токи I_C и отличаются по фазе примерно на p, поэтому вектор, изображающий ток I_Д в неразветвленной части цепи, как следует из диаграммы токов на рис. 1.4.13, равен по величине разности токов и : = 0,03 А.

Токи I_C и оказались в противофазе, т. к. согласно условиям задачи .

ОТВЕТ: А; А; А.

ЗАДАЧА 10. Активное сопротивление R, индуктивность L и емкость С соединены параллельно и подключены к источнику переменного тока с ЭДС . Вывести соотношение между амплитудными значениями тока I ₀ и напряжения . Найти сдвиг по фазе между напряжением и током.

ДАНО: R, L, С

j –?

АНАЛИЗ. В задаче рассматриваются вынужденные электромагнитные колебания в электрическом колебательном контуре с параллельно соединенными элементами LCR. Задача решается с использованием закона Фарадея и первого правила Кирхгофа.

РЕШЕНИЕ. Из условия задачи (рис. 1.4.14) следует, что напряжение на всех элементах контура C, L, R одинаково и равно ЭДС, т. е.

. (1.4.24)

Найдем токи в ветвях контура (I_C, I_L, I_R), выразив их через соответствующее значение напряжения.

Напряжение на обкладках конденсатора . Согласно условию (1.4.24) , отсюда . Полученное равенство продифференцируем по времени и учтем, что :

. (1.4.25)

Сравнивая выражения (1.4.24) и (1.4.25), получим, что ток через конденсатор опережает напряжение на конденсаторе U_С на . На векторной диаграмме токов (рис. 1.4.15) вектор , направлен вверх и составляет угол с осью напряжений.

Напряжение на индуктивности связано с величиной тока через