Задачи для самостоятельного решения

 

1. При какой скорости поезда рессоры его вагонов будет особенно сильно колебаться под действием толчков колес о стыки рельс, если длина рельс 12,5 м, нагрузка на рессору равна 5,5 тонн? Рессора прогибается на 16 мм при нагрузке в 9,8×10³ Н.

2. Тело массой т = 10 г совершает затухающие колебания с максимальным значением амплитуды 7 см, начальный фазой, равной нулю, и коэффициентом затухания 1,6 с^–1. На это тело начала действовать внешняя периодическая сила, под действием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид см. Найти: 1) уравнение (с числовыми коэффициентами) собственных колебаний; 2) уравнение (с числовым коэффициентами) внешней периодической силы.

3. Гирька массою 0,2 кг, висящая на вертикальной пружине, совершает затухающие колебания с коэффициентом затухания 0,75 с^–1. Коэффициент деформации пружины равен 5 Н/см. Начертить зависимость амплитуды А вынужденных колебаний гирьки от частоты внешней периодической силы, если известно, что наибольшее значение внешней силы равно 0,98 Н. Для построения графика найти значения А для следующих частот: w= 0, w= 0,5w₀,w=0,75 w₀, w= w₀, w= 1,5w₀ и w= 2w₀, где w₀ – частота собственных колебаний подвешенной гири.

4. По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде ряда углублений, находящихся на расстоянии 30 см друг от друга. По этой дороге прокатили детскую коляску, имеющую две одинаковые рессоры, каждая из которых прогибается на 2 см под действием груза массою 1 кг. С какой скоростью катили коляску, если от толчков на углублениях она, попав в резонанс, начала сильно раскачиваться? Масса коляски 10 кг.

5. Шарик массой т = 50 г подвешен на невесомой пружине жесткостью = 20 Н/м. Под действием вынуждающей вертикальной гармонической силы с циклической частотой w₁ = 18 с^–1 он совершает установившиеся вынужденные колебания с амплитудой А₀ = 1,3 см. При этом смещение шарика отстает по фазе от вынуждающей силы на j = . Найти работу вынуждающей силы за время, равное периоду колебаний. Во сколько раз найденное значение меньше той максимальной работы, которую может совершить вынуждающая сила за период?

6. Найти разность фаз j между смещением x и вынуждающей силой при резонансе смещения, если собственная частота колебаний w₀ = 50 с^–1 и коэффициент затухания b = 5,2 с^–1.

7. Найти максимальное значение амплитуды смещения осциллятора, совершающего установившиеся колебания под действием вынуждающей гармонической силы с амплитудой F ₀ = 2,5 Н, если частота затухающих колебаний данного осциллятора w= 100 с^–1 и коэффициент сопротивления r = 0,50 кг/с.

8. Амплитуды смещений вынужденных колебаний при частотах w₁ = 400 с^–1 и w₂= 600 с^–1 равны между собой. Найти частоту w, при которой амплитуда смещения максимальна.

9. При частотах вынуждающей гармонической силы w₁и w₂ амплитуда скорости частицы равна половине максимального значения. Найти: а) частоту, соответствующую резонансу скорости; б) коэффициент затухания b и частоту w затухающих колебаний.

10. Шарик массы т = 50 г подвешен на невесомой пружине жесткости = 20,0 Н/м. Под действием вынуждающей вертикальной гармонической силы с частотой w=25,0 с^–1 шарик совершает установившиеся колебания. При этом смещение шарика отстает по фазе от вынуждающей силы на . Найти добротность осциллятора.

11. Под действием момента сил тело совершает вынужденные крутильные колебания по закону . Найти работу сил трения, действующую на тело за период колебания.

12. Под действием внешней вертикальной силы тело, подвешенное на пружине, совершает установившиеся вынужденные колебания по закону . Найти работу силы F за период колебания.

13. Концы цепи, состоящей из последовательно включенных конденсатора и активного сопротивления R = 110 Ом подсоединили к переменному напряжению с амплитудой U ₀ = 110 В. При этом амплитуда установившегося тока в цепи I ₀ = 0,50 А. Найти разность фаз между током и подаваемым напряжением.

14. Цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкости C = 22 мкФ, катушки с активным сопротивлением R = 20 Ом и индуктивностью L = 0,35 Гн, подключена к сети переменного напряжения с амплитудой U ₀ = 180 В и частотой w = 314 с^–1. Найти: а) амплитуду тока в цепи; б) разность фаз между током и внешним напряжением; в) амплитуды напряжения на конденсаторе и катушке.

15. Цепь из последовательно соединенных конденсатора емкости С, сопротивления R и катушки с индуктивностью L и пренебрежимо малым активным сопротивлением подключена к генератору синусоидального напряжения, частоту которого можно менять при постоянной амплитуде. Найти частоту, при которой максимальна амплитуда напряжения: а) на конденсаторе; б) на катушке.

16. Переменное напряжение с частотой w=314 с^–1 и амплитудой U ₀ = 180 В подключено к концам цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора, катушки с активным сопротивлением R = 2 Ом и индуктивностью L = 0,36 Гн. При каком значении емкости конденсатора амплитуда напряжения на катушке будет максимальной? Чему равна эта амплитуда и соответствующая амплитуда напряжения на конденсаторе?

17. Найти добротность колебательного контура, в который последовательно включен источник переменной ЭДС, если при резонансе напряжение на конденсаторе в n раз превышает напряжение на источнике.

18. Цепь, состоящую из последовательно соединенных безиндукционного сопротивления R = 16 Ом и катушки с активным сопротивлением, подключили к сети с действующим напряжением U = 220 В. Найти тепловую мощность, выделяемую на катушке, если действующие напряжения на сопротивлении R и катушке равны соответственно U ₁ = 80 В и U ₂ = 180 В.

19. Катушка и безиндукционное сопротивление R = 25 Ом подключены параллельно к сети переменного напряжения. Найти тепловую мощность, выделяемую в катушке, если из сети потребляется ток I = 0,90 А, а через катушку и сопротивление R текут токи соответственно I ₁ =0,5 А и I ₂ = 0,6 А.

20. Найти полное сопротивление участка цепи, состоящего из параллельно включенного конденсатора емкости С = 73 мкФ и активного сопротивления R = 100 Ом для переменного тока частоты w=314 с^–1.

21. Конденсатор емкости С = 1,0 мкФ и катушку с активным сопротивлением R = 0,10 Ом и индуктивностью L = 1,0 мГн подключили параллельно к источнику синусоидального напряжения с действующим значением U = 31 В. Найти: а) частоту w, при которой наступает резонанс; б) действующее значение подводимого тока при резонансе, а так же соответствующие токи через катушку и конденсатор.

22. Активное сопротивление R и индуктивность L соединены параллельно и включены в цепь переменного тока напряжением 127 В и частотой 50 Гц. Найти активное сопротивление R и индуктивность L, если мощность, поглощаемая в этой цепи, равна 404 Вт, а сдвиг фаз между напряжением и током 60°.

23. Катушка с активным сопротивлением 10 Ом и индуктивностью L включена в цепь переменного тока, напряжением 127 В и частотой 50 Гц. Найти индуктивность катушки, если известно, что катушка поглощает мощность 400 Вт и сдвиг фаз между напряжением и током равен 60°.

24. Катушка длиной см и площадью поперечного сечения S =10 см² включена в цепь переменного тока частотой n=50 Гц. Число витков катушки N = 3000. Найти активное сопротивление катушки, если известно, что сдвиг фаз между напряжением и током равен 60°.

25. Обмотка катушки состоит из 500 витков медного провода площадью поперечного сечения в 1 мм². Длина катушки 50 см, ее диаметр 5 см. При какой частоте переменного тока полное сопротивление этой катушки вдвое больше ее активного сопротивления.

26. На деревянное кольцо, диаметр которого d = 30 см, а поперечное сечение имеет форму круга, навита обмотка из медной проволоки, масса которой т = 2 кг. Обмотку присоединяют сначала к сети постоянного тока, затем к сети переменного тока (n = 50 Гц), причем действующее напряжение равно напряжению постоянного тока. В каком случае сила тока больше? Во сколько раз?