Введение. Для наблюдения процесса восстановления вынужденных электрических колебаний в колебательном контуре с начальным запасом энергии

 

Для наблюдения процесса восстановления вынужденных электрических колебаний в колебательном контуре с начальным запасом энергии, необходимо в его разрыв подключить внешний источник с ЭДС (рис.1), изменяющийся по гармоническому закону:

Пусть в начальный момент времени ток в контуре нарастает (рис.1). Выбрав направление обхода контура по часовой стрелке, запишем второе правило Кирхгофа:

Рис.1

U _R+ U _C= e _s+ e,(1)

где: U _R – напряжение на сопротивлении R; U_C – напряжение на конденсаторе С; e _s – эдс самоиндукции в катушке индуктивности L; e - внешняя ЭДС.

Учитывая, что , а в уравнении (1) , , , перепишем его в виде:

(2)

Разделив (2) на L и введя обозначения R/L = 2b, 1/(LC) = w₀²,

получим неоднородное дифференциальное уравнение:

(3)

где β – коэффициент затухания; w₀ – собственная частота коле-бательного контура.

Решение этого неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

и частного решения неоднородного уравнения q₂(t), где q_m^/, α^/, ω^/- соответственно амплитуда заряда, начальная фаза и циклическая частота затухающих колебаний.

Рис. 2

Но q₁(t) играет роль только в течение времени τ; востановления колебаний, т.е. t≤τ; (рис.2), в дальнейшем
(t> τ) q=q₂(t).

Частное решение уравнения (4) имеет вид:

, (4)

где ψ – разность фаз между колебаниями заряда и внешней ЭДС.

Сила тока в контуре:

(5)

- амплитуда тока в контуре, а – разность фаз между током и внешней ЭДС.

Напряжение на конденсаторе (6)

– амплитуда напряжения на конденсаторе.

Напряжение на сопротивлении

(7)

– амплитуда напряжения на сопротивлении.

 

Величина напряжения на катушке U_L индуктивности равна ЭДС самоиндукции ε_s, направление которой зависит от направления тока в контуре и от скорости его изменения :

(8)

– амплитуда напряжения на катушке.

Представим уравнение (1)в виде U_R+U_C+ U_L= e_mcos wt и подставим в него уравнения (5)-(8):

(9)

Величины, стоящие в (9) перед косинусами, представим в виде векторов, а их фазовые соотношения указаны в аргументах.

На основании (9) построим векторную диаграмму (рис.3), из которой следует, что e_m² = (U_Lm-U_Cm)² + U_Rm² = I_m²((wL - 1/(wC))²+R²),а амплитуда тока

(10)

где полное сопротивление (11)

контура (импеданс); ωL=X_L и 1/(ωC)=X_C – соответственно

индуктивное и емкостное сопротивление контура.

Из векторной диаграммы

(12)

Из анализа (12) следует:

1) если X_L> X_C (w> w₀), то ток отстает по фазе от приложенного ЭДС на j; 2) если X_L< X_C (w< w₀), то ток опережает по фазе приложенное ЭДС на j; 3) если X_L=X_C (w = w₀), то ток совпадает по фазе с приложенным ЭДС.

При равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений X_L=X_C наступает резонанс, при котором величина тока в контуре достигает максимального значения I_m0 (см.(10)). Разделим ампли-туду тока I_m при любой частоте на I_m0 и построим график зависи-мости I_m/ I_m0(ω) (рис.4). Из этого графика можно определить

Рис. 4

ширину полосы пропускания Δω; контура, которая берется на высоте 0,7.

При небольшом коэффициенте затухания β добротность Q колебательного контура можно определить путем деления резонансной частоты ω₀ на ширину полосы пропускания Δω:

(13)

или с помощью параметров контура, по формуле:

(14)

 

О программе

 

Программа наглядно иллюстрирует физические процес-сы, протекающие в колебательном контуре при вынужденных колебаниях.

Разработана студентами факультета «Автоматизация и информатика» Бондаренко Владимиром и Антоновым Антоном.

 

Подготовка к эксперименту

 

1. Открыть папку «Вынужденные электрические колебания» и файл «Resonans.ехе».

2. Познакомиться с рабочей панелью (рис.5).

 

Рис. 5

3. В четырех окнах рабочей панели представлены (слева направо): фазовая зависимость от частоты между током в контуре и внешней ЭДС;зависимость амплитуды напряжения U_C на конденсаторе от частоты; векторная диаграмма; временная развертка текущего напряжения на конденсаторе.

4. В верхней части панели расположены органы управления, с помощью которых устанавливают: величину индуктивности L, электроемкости C и сопротивления контура R; циклическую частоту ω и амплитуду ε_m внешней ЭДС; скорости анимации.

5. В левой части панели расположена модель колебательного контура, с помощью которой отображаются в динамике полярность напряжений на конденсаторе и внешней ЭДС, направление эдс самоиндукции в катушке индуктивности и направление магнитного поля.

6. Под контуром отображается: текущее значение напряжений на конденсаторе, сопротивлении и катушке индуктивности; циклическая частота собственных колебаний контура; время эксперимента.

7. С помощью регуляторов «С», «L», «E_m», «ω» установить на рабочей панели: 1) электроемкость конденсатора из интервала 1 – 10 мкФ; 2) индуктивность катушки из интервала 3-20 мГн; 4) амплитуду внешней ЭДС из интервала 1-10В.

8. Установить флажок в окошке «Автозум».

 

Проведение эксперимента

Задание 1. Исследование влияния внешней ЭДС и сопротивления колебательного контура на его характеристики.

1. Установить частоту ω внешней ЭДС примерно в два раза меньше ω₀.

2. Для выбранной частоты вычислить индуктивное сопротивление (X_L=ωL) и емкостное сопротивление (X_C=1/(ωC).

3. Установите первое значение сопротивления контура
(0,1 Ом).

4. Вычислить: полное сопротивление контура по формуле (11); добротность контура по формуле (14); разность фаз между током в контуре и внешней ЭДС φ; по формуле (12).

5. Запустите программу в работу клавишей «Пуск» и, наблюдая за временной разверткой U(t), дождитесь начала вынужденных колебаний с постоянной амплитудой. Остановите работу прог-раммы клавишей «Пауза». По оси времени t измерьте время τ; восстановления вынужденных колебаний (см. рис.5).

6. Продолжить работу программы (клавишей «Продолжить») и остановить (клавишей «Пауза») в момент, когда напряжение на конденсаторе достигнет амплитудного значения U_m.

7. Вычислить амплитудное значение тока в контуре
(I_m=U_m/Z).

8. Повторить пункты 4 – 8 для сопротивлений контура R=0,5 и 0,9 Ом.

9. Результаты измерений и вычислений занести в табл. 1.

Таблица 1

R	ω0	ω	XL	XC	Z	Q	tg φ	φ	τ	Um	Im
Ом	рад/с	рад/с	Ом	Ом	Ом	-	-	гр.	мс	В	А
0,1
0,5
0,9

 

10. Повторить пункты 2 – 9 для частот вынужденных колебаний ω > ω₀ и ω ≈ ω₀.

11. По выполненному заданию сделать вывод.

 

Задание 2. Определение полосы пропускания колебательного контура

 

1. Установить сопротивление контура из интервала
R= 0,1– 1 Ом.

2. Выбрать по три значения ω, отличающихся от ω₀ примерно на 15, 30 и 45%, как в большую, так и в меньшую сторону.

3. Вычислить для каждой ω индуктивное X_L, емкостное X_C сопротивление и импеданс Z колебательного контура.

4. Установите первое значение циклической частоты ω.

5. Запустите программу в работу клавишей «Пуск» и, дождавшись начала вынужденных колебаний с постоянной амплитудой, остановите (клавишей «Пауза») работу программы в момент,

когда напряжение на конденсаторе достигнет амплитудного значения U_m.

6. Вычислите амплитудное значение тока в контуре
(I_m=U_m/Z).

7. Повторите пункты 5 – 6 для остальных циклических частот.

8. Каждое значение амплитуды тока разделить на максимальную амплитуду тока I_m0, соответствующую резонансной частоте ω_0.

9. Результаты измерений и вычислений занести в табл. 2.

Таблица 2

ω	ω0	R	XL	XC	Z	Um	Im	Im/ Im0
рад/с	рад/с	Ом	Ом	Ом	Ом	В	А	-

 

10. Построить график зависимости I_m/ I_m0(ω).

11. На уровне 0,7 графика определить полосу пропускания Δω колебательного контура, а по формуле (13) вычислить доброт-ность контура.

12. По выполненному заданию сделать вывод.

 

Контрольные вопросы

 

1. Какие физические процессы протекают в колебательном контуре?

2. Приведите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в реальном колебательном контуре и его решение?

3. Перечислите основные характеристики реального колеба-тельного контура: L, C, R, ω₀, β, Q.

4. Как с помощью векторной диаграммы определить амплитуду тока в контуре и фазовые соотношения между током и внешней ЭДС?

5. В каких случаях ток в колебательном контуре отстает, опере-жает или совпадает по фазе по отношению к внешней ЭДС?

6. Как по резонансной кривой для силы тока определить ширину полосы пропускания колебательного контура?

7. Как можно определить добротность колебательного контура?

 

Рекомендуемая литература

1. СавельевИ.В. Курс физики. Т2. / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1989. §§70,71.

2. Трофимова Т.И. Курс физики / Т.И. Трофимова. – М.: Высшая школа, 2003. §§ 146-148.

3. Яворский В. М. Справочник по физике / В.М. Яворский, А.А. Детлаф. – М.: Наука, 1985. § IV.2.1.

 

 

Составители: Кудря А.П., Бондаренко В.В.,

Антонов А.И., Шполянский А.Я.

 

Лабораторная работа № 19В