Показатели работы отраслей

Производственное потребление	Конечное потребление	Валовой выпуск

Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом i = l,..., n должно выполняться соотношение

xi = xi 1 + xi 2 +...+ xin + y i,

(1.1)

означающее, что валовой выпуск x_i расходуется на производственное потребление, равное x _i1 + x_i 2 +...+ x_in, и непроизводственное потребление, равное у_i. Будем называть (1.1) соотношениями баланса. Для выпуска любого объёма х_j продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в качестве a_ij x _j, где а_ij - постоянный коэффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорциональны объёму производимой продукции. Это допущение постулирует, как говорят, линейность существующей технологии.

xij = aijxj (i, j = 1,..., n).

(1.2)

Коэффициенты а_ij называют коэффициентами прямых затрат (коэффициент материалоемкости).

В предположении линейности соотношения (1.1) принимают вид:

x ₁ = a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ +... + a _{1 n} x_n + y ₁

x ₂ = a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ +... + a _{2 n} x_n + y ₂

.........................................

x_n = a_{n 1} x ₁ + a_{n 2} x ₂ +... + a_nn x_n + y_n,

или, в матричной записи,

,

(1.3)

где

Вектор называется вектором валового выпуска, вектор - вектором конечного потребления, а матрица А - матрицей прямых затрат. Соотношение (1.3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов и это соотношение называют также моделью Леонтьева.

Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для целей планирования. В этом случае задача ставится так: для предстоящего планового периода [ T ₀, T ₁] задается вектор конечного потребления. Требуется определить вектор валового выпуска.

При этом нужно иметь в виду следующие особенности системы (1.3):

 

1. Все компоненты матрицы А и вектора неотрицательны (это вытекает из экономического смысла А и ). Для краткости будем говорить о неотрицательности самой матрицы А и вектора и записывать это так: .

2. Все компоненты вектора также должны быть неотрицательными:

 

Из матричного уравнения (1.3) сразу следует:

 

x = (E - A)-1y

(1.4)

 

 

3. Решение задачи

 

 

 

4. Анализ результатов

 

Матрица прямых затрат продуктивна, так как каждое значение не должно превосходить 1 (0.56<1, 0.93<1, 0.92<1, 0.79<1).

Валовый продукт, соответствующий увеличению конечного продукта на 2,5%, был рассчитан.