Формула Симпсона

 

Если заменить график функции на каждом отрезке разбиения не отрезками прямых, как в методах прямоугольников и трапеций, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления определенного интеграла .

Предварительно найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы , сбоку – прямыми , и снизу – отрезком .

Пусть парабола проходит через три точки , , , где

– ордината параболы в точке ,

– ордината параболы в точке .

Площадь равна

. (5)

Выразим эту площадь через . Из равенств для ординат найдем, что

, .

Подставляя эти значения и в равенство (5), получим

(6)

Получим теперь формулу Симпсона для вычисления интеграла .

Для этого отрезок на равных частей длины точками , . В точках деления вычислим значения подынтегральной функции : , где .

Заменим каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными , одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным . На отрезке парабола проходит через точки , , . Используя формулу (6), находим

.

Аналогично находим

, …,

.

Сложив полученные равенства, имеем

или

. (7)

Формула (7) называется формулой Симпсона (или парабол).

Абсолютная погрешность вычисления по формуле (7) оценивается соотношением

, (8)

где .

Замечание. Формула (7) дает точное значение интеграла во всех случаях, когда – многочлен степени меньше или равной трем.

Пример. Вычислить интеграл по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, используя разбиение отрезка на 4 части. Сравнить полученный результат с точным значением.

Решение.

Найдем точное значение интеграла: .

Шаг интегрирования .

1. Вычислим интеграл по формуле прямоугольников (1):

.

Обозначим , .

Составим таблицу 1.

Таблица 1.

		-	-

Тогда .

Абсолютная погрешность результата равна

.

2. Вычислим интеграл по формуле трапеций (3):

.

Используя данные последнего столбца таблицы 1, получим

.

Абсолютная погрешность результата равна

.

3. Вычислим интеграл по формуле Симпсона (7):

.

Используя данные последнего столбца таблицы 1, получим

.

Абсолютная погрешность результата равна нулю.