Законы Кирхгофа

I закон Кирхгофа:алгебраическая сумма комплексов токов в ветвях, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

(3.2)

II закон Кирхгофа:алгебраическая сумма комплексов ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжений в ветвях этого контура:

(3.3)

Комплекс полной мощности определяется:

(3.4)

где S = UI – полная мощность;

P = UI cosφ – активная мощность;

Q = UI sinφ – реактивная мощность;

– сопряженный комплекс тока.

Резистивный элемент в цепи переменного тока (рис. 3.1, а) обладает активным сопротивлением.

Рис. 3.1

 

Если ток изменяется по синусоидальному закону

i = I_m sin (ωt + ψ_i),

то и напряжение изменяется по тому же закону u = U_m sin(ωt + ψ_u). Законы изменения тока и напряжения во времени показаны на рис.3.1, б. Изображающие их векторы и (рис. 3.1, в) также совпадают по фазе, т. е. φ

В символической (комплексной) форме закон Ома в общем случае запишется:

(3.5)

где , .

Для действующих значений закон Ома

(3.6)

Мощность, потребляемая резистивным элементом, называется активной мощностью. Эта мощность расходуется на нагрев активного сопротивления резистивного элемента. Количественно она определяется как средняя мощность за период:

(3.7)

Конденсатор в цепи переменного тока (рис. 3.2, а). Основным параметром конденсатора является емкость С, характеризующая его способность накапливать электрическую энергию. Так как конденсатор обладает незначительным активным сопротивлением, то в первом приближении его можно считать идеальным элементом (чисто емкостным).

При приложенном к конденсатору напряжении u = U_M sinωt через него протекает ток i = I_Msin(ωt +π/2), т. е. ток опережает по фазе напряжение на четверть периода (рис. 3.2, б, в).

Рис. 3.2

Сопротивление идеального конденсатора определяется как

(3.8)

и называется реактивным емкостным сопротивлением. Здесь С – емкость конденсатора.

Закон Ома для действующих значений тока и напряжения для цепи с идеальным конденсатором

(3.9)

в комплексной форме:

(3.10)

где ; .

Среднее значение мощности за период в цепи с идеальным кон­денсатором равно нулю:

(3.11)

В цепи с идеальным конденсатором происходит непрерывное колебание (обмен) энергии между источником и электрическим полем конденсатора без затраты энергии источника. Поэтому конденсатор получил название реактивного элемента.

Параметр, характеризующий энергию, которой обмениваются источник и конденсатор, называется реактивной мощностью и обознача­ется Q_C. Количественно она определяется:

(3.12)

Катушка в цепи переменного тока. В электрической цепи с идеальной индуктивной катушкой (рис. 3.3, а) активное сопротивление R_K= 0. При приложении переменного напряжения u=U_Msinωt по катушке протекает ток i=I_msin(ωt – π/2) (рис. 3.3, б), т.е. ток отстает по фазе от напряжения на угол π/2 и вектор İ отстает от вектора на угол π/2 (рис. 3.3, в).

Рис. 3.3

Сопротивление идеальной катушки X_L = ωL = 2πfL, Ом, называют индуктивным сопротивлением катушки. Здесь L – индуктивность катушки.

Закон Ома для действующих значений тока и напряжения для цепи с идеальной индуктивной катушкой:

(3.13)

в комплексной форме:

(3.14)

где ; .

Среднее за период значение мощности цепи с идеальной катушкой Р_ср= 0, т. е. в цепи с идеальной индуктивной катушкой происходит непрерывное колебание (обмен) энергии между источником и магнитным полем катушки без затрат энергии источника. Поэтому индуктивная катушка получила название реактивного элемента, а мощность – реактивной Q_L. Количественно она определяется:

 

(3.15)

 

Рис. 3.4

Электрическая цепь с реальной индуктивной катушкой (рис. 3.4, а). Все реальные цепи, содержащие индуктивность, обладают активным сопротивлением R_K (сопротивление провода катушки, подводящих проводов и т. д.). Такую реальную индуктивную катушку можно представить из последовательно соединенных идеальных элементов: идеальной индуктивной катушки L и резистивного элемента с активным сопротивлением R_K (рис. 3.4, б).

При приложенном к реальной катушке напряжении u = U_M sinωt по ней протекает ток i = I_Msin(ωt – φ_i). To есть ток отстает по фазе от напряжения на угол φ_К = φ_u – φ_i (рис. 3.4, в), который из-за наличия в катушке активного сопротивления R_K всегда меньше 90°. Вектор отстает от вектора на угол φ_K (рис. 3.4, г).

Сопротивление реальной индуктивной катушки:

 

(3.16)

 

в комплексной форме:

, (3.17)

 

где – модуль комплексного полного сопротивления реальной индуктивной катушки; – его аргумент.

Закон Ома для действующих значений тока и напряжения:

 

(3.18)

в комплексной форме:

(3.19)

Активная мощность в реальной индуктивной катушке:

(3.20)

где коэффициент мощности

(3.21)

Реактивная мощность

(3.22)

Трансформаторы и синхронные генераторы конструктивно рассчитываются для работы при определенных значениях напряжения и тока. Поэтому их номинальную мощность, от которой зависит их стоимость и размеры, часто характеризуют не активной, а полной мощностью:

(3.23)

Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим со­отношением:

(3.24)

в комплексной форме:

(3.25)

Здесь – сопряженный комплекс тока.

Последовательное соединение из резистивного элемента, реальной индуктивной катушки и конденсатора представлено на рис. 3.5, а.

Схема замещения такой цепи представлена на рис. 3.5, б. Полное сопротивление такой цепи:

(3.26)

В комплексной форме оно записывается

(3.27)

Ток, протекающий по цепи:

(3.28)

где R_K = Z_K cos φ_к, X_L = Z_K sin φ_к.

В комплексной форме:

(3.29)

где φ = φ_u – φ_i

Рис. 3.5

Напряжения на зажимах цепи:

(3.30)

В комплексной форме:

(3.31)

На основании ІІ закона Кирхгофа напряжение, приложенное к цепи:

– для мгновенных значении

(3.32)

– для действующих значении

(3.33)

где U_ak = R_kI = U_k cos φ_k; U_L = I X_L = U_k sin φ_k;

– для комплексных значении

(3.34)

Активная мощность цепи

(3.35)

Коэффициент мощности всей цепи

(3.36)

Коэффициент мощности катушки

(3.37)

где Р_K = R_K I²; S_K = U_K I.

Реактивная мощность

(3.38)

Полная мощность

(3.39)

Комплексная полная мощность цепи

(3.40)

Построение векторной диаграммы напряжений и тока для цепи, изображенной на рис. 3.5, б, следует начинать с построения вектора тока I, так как по всем элементам протекает один и тот же ток.

При построении векторов напряжений необходимо учитывать фазовые сдвиги между напряжением и током для соответствующих элементов (см. рис. 3.1, 3.3, 3.4). Тогда векторная диаграмма напряжений и тока для цепи, изображенной на рис. 3.5, а, б, для которой на основании ІІ закона Кирхгофа , при условии, что , следова­тельно, , будет иметь вид, представленный на рис. 3.5, в.

Если в цепи, изображенной на рис. 3.5, а, б, реактивные сопротивления равны (), следовательно, напряжения на реактивных элементах также будут равны (), то в такой цепи возникает резонанс напряжений, при котором напряжения на реактив­ных элементах могут значительно превысить напряжения на входе цепи и вывести их из строя (пробой в конденсаторе, межвитковые замыкания в катушке), а значит, нарушить нормальную работу в цепи. Поэтому явление резонанса напряжений недопустимо в силовых электрических це­пях.

Домашнее задание

Изучите основные теоретические положения, относящиеся к работе резистивного, индуктивного и емкостного элементов в цепях синусоидального тока. Рассмотрите схемы опытов и построение векторных диаграмм напряжений.

Выпишите формулы расчетов параметров, представленных в таблицах лабораторной работы. Запишите условия возникновения резонанса напряжений.

Порядок выполнения работы

1. Соберите цепь по схеме рис. 3.6.

2. При помощи ЛАТРа установите напряжение 100 В и проведите три замера, меняя сопротивление R₁. Показания приборов занесите в табл. 3.1.

3. По опытным данным рассчитайте параметры всей цепи и катушки индуктивности. Постройте векторные диаграммы токов и напряжений.

 

Рис. 3.6

Таблица 3.1

 

4. Соберите цепь по схеме рис. 3.7.

5. Полностью введите реостат R₁. Включите половину конденсаторов. Установите с помощью Т₃ напряжение 100 В. Изменяя сопротивление R₁, сделайте три замера, при этом поддерживайте напряжение 100 В. Показания приборов запишите в табл. 3.2.

Рис. 3.7

 

6. Установите заданное значение сопротивления R₁. При неизменном напряжении 100 В и сопротивлении R₁, изменяя емкость конденсаторов С, сделайте три опыта. Показания приборов запишите в табл. 3.2.

Таблица 3.2

 

 

7.

8.

9.

10.

11.

12.

7. По опытным данным рассчитайте параметры всей цепи и конденсатора. Постройте векторные диаграммы токов и напряжений.

8. Соберите цепь по схеме рис. 3.8.

Рис. 3.8

 

9. Установите с помощью Т₃ напряжение 100 В, выключите конденсаторы, установите заданные значения R₁ и Z_K. Увеличивая количество включенных конденсаторов, убедитесь в том, что в схеме ток будет возрастать (до резонанса), достигнув максимума при резонансе напря­жений. При дальнейшем увеличении емкости ток начинает уменьшаться (после резонанса).

Проделайте один опыт до резонанса, второй – при резонансе и третий – после резонанса. Результаты измерений запишите в табл. 3.3.

10. По опытным данным рассчитайте параметры всей цепи, реостата, конденсатора и катушки индуктивности (табл. 3.3). Постройте векторные диаграммы токов и напряжений.

Таблица 3.3

 

 

Контрольные вопросы

 

1. Основные параметры синусоидального тока.

2. Закон Ома в символической форме.

3. Законы Кирхгофа в символической форме.

4. Напишите уравнения электрического состояния для каждой схемы в символической форме.

5. Запишите комплексные полные сопротивления каждой цепи.

6. Резистивный элемент в цепи переменного тока.

7. Конденсатор в цепи переменного тока.

8. Индуктивность в цепи переменного тока.

9. Коэффициент мощности и его значение.

 

10. Условия возникновения резонанса напряжения.

11. Чему равен cosφ при резонансе напряжений?

12. Чему равна реактивная мощность всей цепи при резонансе?

Литература

 

[1, §2.1.–2.12; 2, §2.1–2.15; 3, §2.1–2.9].

 

Лабораторная работа №4

ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ. РЕЗОНАНС ТОКОВ

Цель работы

Выработка умения анализировать электрическое состояние цепи переменного тока с параллельным соединением резистора, катушки индуктивности и конденсатора, ознакомление с условиями возникновения резонанса токов.

Основные теоретические положния

Особенностью расчета разветвленных цепей переменного тока является то, что при расчете используется метод проводимостей, с помо­щью которого определяют все искомые величины. При таком подходе выражение для определения полной проводимости ветвей или цепи с параллельным соединением элементов имеет такой же достаточно про­стой вид, как и выражение для определения полного сопротивления в цепи с последовательным соединением элементов:

(4.1)

Здесь Y – полная проводимость цепи или ветви;

g – активная проводимость ветви;

b_L – индуктивная проводимость ветви;

b_C – емкостная проводимость ветви.

В символической (комплексной) форме полная проводимость цепи или ветви записывается в виде

 

(4.2)

 

Закон Ома для определения величины тока цепи или ветви:

 

(4.3)

в комплексной форме

(4.4)

где – комплекс действующего значения тока;

– комплекс действующего значения напряжения;

U, I – соответственно действующее значение напряжения и тока;

φ_i, φ_u – соответственно начальные фазы тока и напряжения;

е – основание натурального логарифма.

В ряде случаев расчет разветвленных цепей переменного тока можно проводить не через проводимости, а через сопротивления. Наиболее удобно в этом случае проводить расчет, используя символический (комплексный) метод, так как он позволяет применять все те же методы расчета, как и для цепей постоянного тока.

Рассмотрим несколько примеров расчета разветвленных цепей пе­ременного тока.

А. Цепь с параллельным соединением идеализированных элементов (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Проводимости ветвей цепи:

(4.5)

где R – сопротивление резистивного элемента;

– сопротивление идеальной индуктивной катушки;

– сопротивление идеального конденсатора.

Полная проводимость цепи

(4.6)

Комплексная полная проводимость цепи

(4.7)

Токи, протекающие в ветвях, и общий ток цепи

(4.8)

 

Общий ток цепи, в комплексной форме:

(4.9)

где – комплекс общего тока;

– комплекс напряжения, приложенного к цепи;

– соответственно начальные фазы тока и напряжения.

Построение векторной диаграммы токов и напряжений для цепи, изображенной на рис. 4.1, а (и подобных цепей), следует начинать с построения вектора напряжения, так как напряжение одно и то же. При построении векторов токов необходимо учитывать характер сопротив­лений, по которым протекают токи. Следовательно, векторы тока и на­пряжения на резисторе совпадают по фазе. Ток, протекающий по иде­альной индуктивности, отстает по фазе от приложенного напряжения на угол 90°. Так как конденсатор обладает незначительным активным со­противлением, его можно считать идеальным емкостным элементом, а ток, протекающий по конденсатору, опережает приложенное к нему на1­пряжение на угол 90°. Тогда векторная диаграмма токов и напряжения для цепи, в которой на основании I закона Кирхгофа , при условии, что b_l > b_С, следовательно, I_L > I_С, будет иметь вид, пред­ставленный на рис. 4.1, б.

В случае, когда в цепи (рис. 4.1, а) реактивные проводимости бу­дут равны между собой (b_l = b_С), то и реактивные токи также будут рав­ны между собой (I_L = I_C) и взаимно компенсируются, здесь имеет место явление резонанса токов. В этом случае общий ток в цепи I_O и напряжение на входе цепи U совпадают по фазе (φ = φ_u – φ_io =0, cosφ =1). Общий ток в цепи равен току, проходящему через резистор:

(4.10)

Мощности цепи (рис. 4.1, а): активная

(4.11)

 

реактивная

(4.12)

полная

(4.13)

Комплексная полная мощность

(4.14)

где – сопряженный комплекс общего тока

Б. Цепь из двух параллельных ветвей Проводимости ветвей цепи (рис. 4.2, а):

– активная проводимость первой ветви;

– индуктивная проводимость первой ветви;

– активная проводимость второй ветви;

– емкостная проводимость второй ветви.

 

Рис. 4.2

 

Полная проводимость ветвей цепи

(4.15)

Комплексная полная проводимость ветвей цепи

(4.16)

Токи в ветвях и общий ток цепи:

(4.17)

где – активная составляющая тока I₁;

– индуктивная составляющая тока I₁;

– активная составляющая тока I₂;

– ёмкостная составляющая тока I₁;

В комплексной форме токи в ветвях и общий ток цепи:

(4.18)

Расчет электрической цепи при параллельном соединении ветвей можно выполнить и без предварительного определения активных и реактивных проводимостей, представляя элементы цепи в схеме замещения их активными и реактивными сопротивлениями.

Для цепи, изображенной на рис. 4.2, а, полное сопротивление ветвей определяется:

(4.19)

Токи в ветвях и общий ток цепи:

(4.20)

где ; ; ; .

Комплексные полные сопротивления:

(4.21)

Токи в ветвях и общий ток в цепи:

Векторная диаграмма токов и напряжения для цепи представлена на рис. 4.2, б.

Мощности цепи (рис. 4.2, а):

активная

(4.22)

реактивная

(4.23)

полная

(4.24)

 

Домашнее задание

Изучите основные теоретические положения, относящиеся к разветвленным цепям переменного тока, понятия о проводимостях парал­лельных ветвей в грамм токов. Принцип построения векторных диаграмм токов. Выпишите формулы расчета параметров, указанных в таблицах лабораторной работы. Запишите условия возникновения резонанса токов.

Порядок выполнения работы

1. Параллельное соединение резистора и катушки индуктивности 1.1. Соберите цепь по схеме рис. 4.3.

Рис. 4.3

 

 

1.2. Введите полностью реостат R₁. Установите заданное напряжение и в течение опыта поддерживайте постоянным это значение.

1.3. Изменяя сопротивление R₁, произведите три опыта. Показания приборов запишите в табл. 4.1.

1.4. По результатам опытов вычислите требуемые параметры электрической цепи (табл. 4.1). Постройте векторные диаграммы токов и напряжения.

1.5. Изменяя индуктивность катушки перемещением ее сердечника, произведите три опыта. Показания приборов занесите в табл. 4.1.

1.6. По результатам опытов вычислите требуемые параметры электрической цепи (табл. 4.1). Постройте векторные диаграммы токов и напряжения.

2. Параллельное соединение резистора и конденсатора.

2.1. Соберите цепь по схеме рис. 4.4.

 

2.2. Введите полностью реостат R₁. Установите заданное напряжение и в течение опыта поддерживайте это напряжение постоянным. Изменяя сопротивление R₁, проведите три опыта, результаты которых занесите в табл. 4.2.

 

Рис.4.4

Таблица 4.1

 

№
Условие опыта	R1 – var	LK – var
Измерено	U	В
P	Вт
I	A
I1	A
I2	A
Вычислено	cosφ	–
Y	1/Ом
g	1/Ом
g1	1/Ом
gк	1/Ом
Yк	1/Ом
bLК	1/Ом
Lк	Гн
Iак	А
Iрк	А

Таблица 4.2

№	Условие опыта	Измерено	Вычислено
U	P	I	I1	I2	cosφ	Y	g	вC	С
В	Вт	А	А	А	–	1/Ом	1/Ом	1/Ом	Ф,
	R1 – var
	C – var

 

2.3. По результатам опытов вычислите требуемые параметры электрической цепи (табл. 4.2). Постройте векторные диаграммы токов и напряжения.

2.4. Установите ток I₁ согласно значению, указанному в табл. 4.2. Изменяя емкость конденсаторов, проведите 3 опыта, результаты которых занесите в табл. 4.2.

2.5. По результатам опытов вычислите требуемые параметры электрической цепи (табл. 4.1). Постройте векторные диаграммы токов и напряжения.

3. Параллельное соединение резистора, катушки индуктивности и конденсатора.

3.1. Соберите цепь по схеме (рис. 4.5).

Рис. 4.5

 

3.2. Введите полностью реостат R₁. Установите напряжение 100 В.

3.3. Установите емкость конденсаторов С = 0 (конденсаторы выключены). Проведите первый замер.

3.4. Постепенно включая конденсаторы, добейтесь минимального значения общего тока (резонанс токов). Проведите второй замер.

3.5. Установите максимальную емкость конденсаторов. Проведите третий замер. Результаты опытов занесите в табл. 4.3.

 

Таблица 4.3

№	1.	2.	3.
Условие опыта	bc < bL	bc = bL	bc > bL
Измерено	U	В
P	Вт
I	A
I1	A
I2	A
I3	A
Вычислено	cosφ	–
Y	1/Ом
g	1/Ом
b	1/Ом
g1	1/Ом
gк	1/Ом
Yк	1/Ом
bc	1/Ом
bLK	1/Ом
Iак	А
Iрк	А

 

Контрольные вопросы

1. Напишите уравнения электрического состояния для каждой схемы в комплексной форме.

2. Запишите комплексные значения полной проводимости каждой
цепи.

3. Переход от векторной диаграммы токов к треугольнику проводимостей и мощностей.

4. Влияние параметров параллельной цепи на cosφ.

5. Условия возникновения резонанса токов.

6. Электрические явления, возникающие при резонансе токов.

Литература:

[1, §2.13, 2.17, 2.19; 2, §2.15–2.17, 2.20,2.21; 3, §2.13–2.19].

 

Лабораторная работа №5

ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕХФАЗНЫХ ПРИЕМНИКОВ,

СОЕДИНЕННЫХ ПО СХЕМАМ ЗВЕЗДА И ТРЕУГОЛЬНИК

Цель работы

Опытная проверка основных закономерностей трехфазной электрической цепи при симметричной и несимметричной нагрузках, а также влияния нейтрального провода на соотношение фазных и линейных трехфазных напряжений и токов приемника.

Трехфазная электрическая цепь при соединении приемников звездой.

Рис. 5.1

При соединении фаз обмотки генератора (или трансформатора) звездой их концы X, Y и Z соединяют в одну общую точку N, называемую нейтральной точкой (или нейтралью), а начало фаз выходит к зажимам, обозначаемым соответственно А, В и С (рис. 5.1). Провод, соединяющий нейтральные точки генератора N и приемника n, называется нейтральным, остальные провода – линейными.

Напряжения между началом и концом каждой фазы источника или приемника называют фазными.

Фазными токами называются токи в обмотках генератора или в сопротивлениях фаз нагрузки.

Напряжения между началами фаз называются линейными. Линейными называются и токи в линейных проводах.

При соединении звездой линейные токи равны фазным (I_Л = I_Ф).

Линейные напряжения при соединении звездой являются векторной разностью соответствующих фазных напряжений: , , (5.1)

Соответствующие векторные диаграммы фазных и линейных напряжений представлены на рис. 5.2, а, б.

 

 

Рис. 5.2

Векторы линейных напряжений опережают по фазе, соответственно, векторы фазных напряжений и на угол 30 (рис. 5.2, а). Векторы фазных и линейных напряжений в случае симметричной системы образуют три равнобедренных треугольника с углом 30°. Из этих треугольников можно вывести, что величина каждого из векторов линейных напряжений в раз больше величины вектора фазного напряжения.

т. е. . (5.2)

Нагрузка считается симметричной, если равны комплексные полные сопротивления фаз

Векторная диаграмма, соответствующая случаю симметричной на грузки, представлена на рис. 5.3.

Рис. 5.3

Из диаграммы следует, что , т. е. при симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе отсутствует (I_N = 0).

При несимметричной нагрузке (), благодаря нейтральному проводу, фазные напряжения приемника также образуют симметричную систему.

Токи в фазах приемника составляют несимметричную систему. Появляется ток в нейтральном проводе .

Величину тока каждой фазы и сдвиг фаз определяют по следующим формулам:

(5.3)

Для определения тока в нейтральном проводе строят векторную диаграмму (рис. 5.4, а) и графически определяют вектор тока İ_N путем геометрического сложения векторов фазных токов , и .

Если при несимметричной нагрузке не будет нейтрального провода (при Z_N ≠ 0), то фазные напряжения приемника не будут равны соот­ветствующим напряжениям источника. Нейтральная точка n сместится из центра треугольника линейных напряжений N. Между нейтральными точками источника и приемника возникает напряжение U_nN, называемое напряжением относительно нейтрали или напряжением между нейтралями (рис. 5.4, б), которое может быть определено из соотношения:

(5.4)

где – фазные напряжения генератора;

– комплексы проводимостей фаз нагрузки и нейтрального провода

 

Рис. 5.4

 

Пренебрегая сопротивлениями линейных проводов, получим соотношения между фазными напряжениями генератора и нагрузки:

(5.5)

Линейные и фазные токи можно определить из следующих соотношений:

(5.6)

Ток в нейтральном проводе:

(5.7)

Векторная диаграмма для данного случая представлена на рис. 5.4, б.