Законы КирхгофаI закон Кирхгофа:алгебраическая сумма комплексов токов в ветвях, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю: (3.2) II закон Кирхгофа:алгебраическая сумма комплексов ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжений в ветвях этого контура: (3.3) Комплекс полной мощности определяется: (3.4) где S = UI – полная мощность; P = UI cosφ – активная мощность; Q = UI sinφ – реактивная мощность; – сопряженный комплекс тока. Резистивный элемент в цепи переменного тока (рис. 3.1, а) обладает активным сопротивлением. Рис. 3.1
Если ток изменяется по синусоидальному закону i = Im sin (ωt + ψi), то и напряжение изменяется по тому же закону u = Um sin(ωt + ψu). Законы изменения тока и напряжения во времени показаны на рис.3.1, б. Изображающие их векторы и (рис. 3.1, в) также совпадают по фазе, т. е. φ В символической (комплексной) форме закон Ома в общем случае запишется: (3.5) где , . Для действующих значений закон Ома (3.6) Мощность, потребляемая резистивным элементом, называется активной мощностью. Эта мощность расходуется на нагрев активного сопротивления резистивного элемента. Количественно она определяется как средняя мощность за период: (3.7) Конденсатор в цепи переменного тока (рис. 3.2, а). Основным параметром конденсатора является емкость С, характеризующая его способность накапливать электрическую энергию. Так как конденсатор обладает незначительным активным сопротивлением, то в первом приближении его можно считать идеальным элементом (чисто емкостным). При приложенном к конденсатору напряжении u = UM sinωt через него протекает ток i = IMsin(ωt +π/2), т. е. ток опережает по фазе напряжение на четверть периода (рис. 3.2, б, в). Рис. 3.2 Сопротивление идеального конденсатора определяется как (3.8) и называется реактивным емкостным сопротивлением. Здесь С – емкость конденсатора. Закон Ома для действующих значений тока и напряжения для цепи с идеальным конденсатором (3.9) в комплексной форме: (3.10) где ; . Среднее значение мощности за период в цепи с идеальным конденсатором равно нулю: (3.11) В цепи с идеальным конденсатором происходит непрерывное колебание (обмен) энергии между источником и электрическим полем конденсатора без затраты энергии источника. Поэтому конденсатор получил название реактивного элемента. Параметр, характеризующий энергию, которой обмениваются источник и конденсатор, называется реактивной мощностью и обозначается QC. Количественно она определяется: (3.12) Катушка в цепи переменного тока. В электрической цепи с идеальной индуктивной катушкой (рис. 3.3, а) активное сопротивление RK= 0. При приложении переменного напряжения u=UMsinωt по катушке протекает ток i=Imsin(ωt – π/2) (рис. 3.3, б), т.е. ток отстает по фазе от напряжения на угол π/2 и вектор İ отстает от вектора на угол π/2 (рис. 3.3, в). Рис. 3.3 Сопротивление идеальной катушки XL = ωL = 2πfL, Ом, называют индуктивным сопротивлением катушки. Здесь L – индуктивность катушки. Закон Ома для действующих значений тока и напряжения для цепи с идеальной индуктивной катушкой: (3.13) в комплексной форме: (3.14) где ; . Среднее за период значение мощности цепи с идеальной катушкой Рср= 0, т. е. в цепи с идеальной индуктивной катушкой происходит непрерывное колебание (обмен) энергии между источником и магнитным полем катушки без затрат энергии источника. Поэтому индуктивная катушка получила название реактивного элемента, а мощность – реактивной QL. Количественно она определяется:
(3.15)
Электрическая цепь с реальной индуктивной катушкой (рис. 3.4, а). Все реальные цепи, содержащие индуктивность, обладают активным сопротивлением RK (сопротивление провода катушки, подводящих проводов и т. д.). Такую реальную индуктивную катушку можно представить из последовательно соединенных идеальных элементов: идеальной индуктивной катушки L и резистивного элемента с активным сопротивлением RK (рис. 3.4, б). При приложенном к реальной катушке напряжении u = UM sinωt по ней протекает ток i = IMsin(ωt – φi). To есть ток отстает по фазе от напряжения на угол φК = φu – φi (рис. 3.4, в), который из-за наличия в катушке активного сопротивления RK всегда меньше 90°. Вектор отстает от вектора на угол φK (рис. 3.4, г). Сопротивление реальной индуктивной катушки:
(3.16)
в комплексной форме: , (3.17)
где – модуль комплексного полного сопротивления реальной индуктивной катушки; – его аргумент. Закон Ома для действующих значений тока и напряжения:
(3.18) в комплексной форме: (3.19) Активная мощность в реальной индуктивной катушке: (3.20) где коэффициент мощности (3.21) Реактивная мощность (3.22) Трансформаторы и синхронные генераторы конструктивно рассчитываются для работы при определенных значениях напряжения и тока. Поэтому их номинальную мощность, от которой зависит их стоимость и размеры, часто характеризуют не активной, а полной мощностью: (3.23) Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением: (3.24) в комплексной форме: (3.25) Здесь – сопряженный комплекс тока. Последовательное соединение из резистивного элемента, реальной индуктивной катушки и конденсатора представлено на рис. 3.5, а. Схема замещения такой цепи представлена на рис. 3.5, б. Полное сопротивление такой цепи: (3.26) В комплексной форме оно записывается (3.27) Ток, протекающий по цепи: (3.28) где RK = ZK cos φк, XL = ZK sin φк. В комплексной форме: (3.29) где φ = φu – φi
Напряжения на зажимах цепи: (3.30) В комплексной форме: (3.31) На основании ІІ закона Кирхгофа напряжение, приложенное к цепи: – для мгновенных значении (3.32) – для действующих значении (3.33) где Uak = RkI = Uk cos φk; UL = I XL = Uk sin φk; – для комплексных значении (3.34) Активная мощность цепи (3.35) Коэффициент мощности всей цепи (3.36) Коэффициент мощности катушки (3.37) где РK = RK I²; SK = UK I. Реактивная мощность (3.38) Полная мощность (3.39) Комплексная полная мощность цепи (3.40) Построение векторной диаграммы напряжений и тока для цепи, изображенной на рис. 3.5, б, следует начинать с построения вектора тока I, так как по всем элементам протекает один и тот же ток. При построении векторов напряжений необходимо учитывать фазовые сдвиги между напряжением и током для соответствующих элементов (см. рис. 3.1, 3.3, 3.4). Тогда векторная диаграмма напряжений и тока для цепи, изображенной на рис. 3.5, а, б, для которой на основании ІІ закона Кирхгофа , при условии, что , следовательно, , будет иметь вид, представленный на рис. 3.5, в. Если в цепи, изображенной на рис. 3.5, а, б, реактивные сопротивления равны (), следовательно, напряжения на реактивных элементах также будут равны (), то в такой цепи возникает резонанс напряжений, при котором напряжения на реактивных элементах могут значительно превысить напряжения на входе цепи и вывести их из строя (пробой в конденсаторе, межвитковые замыкания в катушке), а значит, нарушить нормальную работу в цепи. Поэтому явление резонанса напряжений недопустимо в силовых электрических цепях. Домашнее задание Изучите основные теоретические положения, относящиеся к работе резистивного, индуктивного и емкостного элементов в цепях синусоидального тока. Рассмотрите схемы опытов и построение векторных диаграмм напряжений. Выпишите формулы расчетов параметров, представленных в таблицах лабораторной работы. Запишите условия возникновения резонанса напряжений. Порядок выполнения работы 1. Соберите цепь по схеме рис. 3.6. 2. При помощи ЛАТРа установите напряжение 100 В и проведите три замера, меняя сопротивление R1. Показания приборов занесите в табл. 3.1. 3. По опытным данным рассчитайте параметры всей цепи и катушки индуктивности. Постройте векторные диаграммы токов и напряжений.
Рис. 3.6 Таблица 3.1
4. Соберите цепь по схеме рис. 3.7. 5. Полностью введите реостат R1. Включите половину конденсаторов. Установите с помощью Т3 напряжение 100 В. Изменяя сопротивление R1, сделайте три замера, при этом поддерживайте напряжение 100 В. Показания приборов запишите в табл. 3.2. Рис. 3.7
6. Установите заданное значение сопротивления R1. При неизменном напряжении 100 В и сопротивлении R1, изменяя емкость конденсаторов С, сделайте три опыта. Показания приборов запишите в табл. 3.2. Таблица 3.2
7. 8. 9. 10. 11. 12. 7. По опытным данным рассчитайте параметры всей цепи и конденсатора. Постройте векторные диаграммы токов и напряжений. 8. Соберите цепь по схеме рис. 3.8. Рис. 3.8
9. Установите с помощью Т3 напряжение 100 В, выключите конденсаторы, установите заданные значения R1 и ZK. Увеличивая количество включенных конденсаторов, убедитесь в том, что в схеме ток будет возрастать (до резонанса), достигнув максимума при резонансе напряжений. При дальнейшем увеличении емкости ток начинает уменьшаться (после резонанса). Проделайте один опыт до резонанса, второй – при резонансе и третий – после резонанса. Результаты измерений запишите в табл. 3.3. 10. По опытным данным рассчитайте параметры всей цепи, реостата, конденсатора и катушки индуктивности (табл. 3.3). Постройте векторные диаграммы токов и напряжений. Таблица 3.3
Контрольные вопросы
1. Основные параметры синусоидального тока. 2. Закон Ома в символической форме. 3. Законы Кирхгофа в символической форме. 4. Напишите уравнения электрического состояния для каждой схемы в символической форме. 5. Запишите комплексные полные сопротивления каждой цепи. 6. Резистивный элемент в цепи переменного тока. 7. Конденсатор в цепи переменного тока. 8. Индуктивность в цепи переменного тока. 9. Коэффициент мощности и его значение.
10. Условия возникновения резонанса напряжения. 11. Чему равен cosφ при резонансе напряжений? 12. Чему равна реактивная мощность всей цепи при резонансе? Литература
[1, §2.1.–2.12; 2, §2.1–2.15; 3, §2.1–2.9].
Лабораторная работа №4 ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ. РЕЗОНАНС ТОКОВ Цель работы Выработка умения анализировать электрическое состояние цепи переменного тока с параллельным соединением резистора, катушки индуктивности и конденсатора, ознакомление с условиями возникновения резонанса токов. Основные теоретические положния Особенностью расчета разветвленных цепей переменного тока является то, что при расчете используется метод проводимостей, с помощью которого определяют все искомые величины. При таком подходе выражение для определения полной проводимости ветвей или цепи с параллельным соединением элементов имеет такой же достаточно простой вид, как и выражение для определения полного сопротивления в цепи с последовательным соединением элементов: (4.1) Здесь Y – полная проводимость цепи или ветви; g – активная проводимость ветви; bL – индуктивная проводимость ветви; bC – емкостная проводимость ветви. В символической (комплексной) форме полная проводимость цепи или ветви записывается в виде
(4.2)
Закон Ома для определения величины тока цепи или ветви:
(4.3) в комплексной форме (4.4)
– комплекс действующего значения напряжения; U, I – соответственно действующее значение напряжения и тока; φi, φu – соответственно начальные фазы тока и напряжения; е – основание натурального логарифма. В ряде случаев расчет разветвленных цепей переменного тока можно проводить не через проводимости, а через сопротивления. Наиболее удобно в этом случае проводить расчет, используя символический (комплексный) метод, так как он позволяет применять все те же методы расчета, как и для цепей постоянного тока. Рассмотрим несколько примеров расчета разветвленных цепей переменного тока. А. Цепь с параллельным соединением идеализированных элементов (рис. 4.1). Рис. 4.1 Проводимости ветвей цепи: (4.5) где R – сопротивление резистивного элемента; – сопротивление идеальной индуктивной катушки; – сопротивление идеального конденсатора. Полная проводимость цепи (4.6) Комплексная полная проводимость цепи (4.7) Токи, протекающие в ветвях, и общий ток цепи (4.8)
Общий ток цепи, в комплексной форме: (4.9) где – комплекс общего тока; – комплекс напряжения, приложенного к цепи; – соответственно начальные фазы тока и напряжения. Построение векторной диаграммы токов и напряжений для цепи, изображенной на рис. 4.1, а (и подобных цепей), следует начинать с построения вектора напряжения, так как напряжение одно и то же. При построении векторов токов необходимо учитывать характер сопротивлений, по которым протекают токи. Следовательно, векторы тока и напряжения на резисторе совпадают по фазе. Ток, протекающий по идеальной индуктивности, отстает по фазе от приложенного напряжения на угол 90°. Так как конденсатор обладает незначительным активным сопротивлением, его можно считать идеальным емкостным элементом, а ток, протекающий по конденсатору, опережает приложенное к нему на1пряжение на угол 90°. Тогда векторная диаграмма токов и напряжения для цепи, в которой на основании I закона Кирхгофа , при условии, что bl > bС, следовательно, IL > IС, будет иметь вид, представленный на рис. 4.1, б. В случае, когда в цепи (рис. 4.1, а) реактивные проводимости будут равны между собой (bl = bС), то и реактивные токи также будут равны между собой (IL = IC) и взаимно компенсируются, здесь имеет место явление резонанса токов. В этом случае общий ток в цепи IO и напряжение на входе цепи U совпадают по фазе (φ = φu – φio =0, cosφ =1). Общий ток в цепи равен току, проходящему через резистор: (4.10) Мощности цепи (рис. 4.1, а): активная (4.11)
реактивная (4.12) полная (4.13) Комплексная полная мощность (4.14) где – сопряженный комплекс общего тока Б. Цепь из двух параллельных ветвей Проводимости ветвей цепи (рис. 4.2, а): – активная проводимость первой ветви; – индуктивная проводимость первой ветви; – активная проводимость второй ветви; – емкостная проводимость второй ветви.
Полная проводимость ветвей цепи (4.15) Комплексная полная проводимость ветвей цепи (4.16) Токи в ветвях и общий ток цепи: (4.17) где – активная составляющая тока I1; – индуктивная составляющая тока I1; – активная составляющая тока I2; – ёмкостная составляющая тока I1; В комплексной форме токи в ветвях и общий ток цепи: (4.18) Расчет электрической цепи при параллельном соединении ветвей можно выполнить и без предварительного определения активных и реактивных проводимостей, представляя элементы цепи в схеме замещения их активными и реактивными сопротивлениями. Для цепи, изображенной на рис. 4.2, а, полное сопротивление ветвей определяется: (4.19) Токи в ветвях и общий ток цепи: (4.20) где ; ; ; .
Комплексные полные сопротивления:
(4.21) Токи в ветвях и общий ток в цепи:
Векторная диаграмма токов и напряжения для цепи представлена на рис. 4.2, б. Мощности цепи (рис. 4.2, а): активная (4.22) реактивная (4.23) полная (4.24)
Домашнее задание Изучите основные теоретические положения, относящиеся к разветвленным цепям переменного тока, понятия о проводимостях параллельных ветвей в грамм токов. Принцип построения векторных диаграмм токов. Выпишите формулы расчета параметров, указанных в таблицах лабораторной работы. Запишите условия возникновения резонанса токов. Порядок выполнения работы 1. Параллельное соединение резистора и катушки индуктивности 1.1. Соберите цепь по схеме рис. 4.3.
1.2. Введите полностью реостат R1. Установите заданное напряжение и в течение опыта поддерживайте постоянным это значение. 1.3. Изменяя сопротивление R1, произведите три опыта. Показания приборов запишите в табл. 4.1. 1.4. По результатам опытов вычислите требуемые параметры электрической цепи (табл. 4.1). Постройте векторные диаграммы токов и напряжения. 1.5. Изменяя индуктивность катушки перемещением ее сердечника, произведите три опыта. Показания приборов занесите в табл. 4.1. 1.6. По результатам опытов вычислите требуемые параметры электрической цепи (табл. 4.1). Постройте векторные диаграммы токов и напряжения. 2. Параллельное соединение резистора и конденсатора. 2.1. Соберите цепь по схеме рис. 4.4.
2.2. Введите полностью реостат R1. Установите заданное напряжение и в течение опыта поддерживайте это напряжение постоянным. Изменяя сопротивление R1, проведите три опыта, результаты которых занесите в табл. 4.2.
Рис.4.4 Таблица 4.1
Таблица 4.2
2.3. По результатам опытов вычислите требуемые параметры электрической цепи (табл. 4.2). Постройте векторные диаграммы токов и напряжения. 2.4. Установите ток I1 согласно значению, указанному в табл. 4.2. Изменяя емкость конденсаторов, проведите 3 опыта, результаты которых занесите в табл. 4.2. 2.5. По результатам опытов вычислите требуемые параметры электрической цепи (табл. 4.1). Постройте векторные диаграммы токов и напряжения. 3. Параллельное соединение резистора, катушки индуктивности и конденсатора. 3.1. Соберите цепь по схеме (рис. 4.5). Рис. 4.5
3.2. Введите полностью реостат R1. Установите напряжение 100 В. 3.3. Установите емкость конденсаторов С = 0 (конденсаторы выключены). Проведите первый замер. 3.4. Постепенно включая конденсаторы, добейтесь минимального значения общего тока (резонанс токов). Проведите второй замер. 3.5. Установите максимальную емкость конденсаторов. Проведите третий замер. Результаты опытов занесите в табл. 4.3.
Таблица 4.3
Контрольные вопросы 1. Напишите уравнения электрического состояния для каждой схемы в комплексной форме. 2. Запишите комплексные значения полной проводимости каждой 3. Переход от векторной диаграммы токов к треугольнику проводимостей и мощностей. 4. Влияние параметров параллельной цепи на cosφ. 5. Условия возникновения резонанса токов. 6. Электрические явления, возникающие при резонансе токов. Литература: [1, §2.13, 2.17, 2.19; 2, §2.15–2.17, 2.20,2.21; 3, §2.13–2.19].
Лабораторная работа №5 ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕХФАЗНЫХ ПРИЕМНИКОВ, СОЕДИНЕННЫХ ПО СХЕМАМ ЗВЕЗДА И ТРЕУГОЛЬНИК Цель работы Опытная проверка основных закономерностей трехфазной электрической цепи при симметричной и несимметричной нагрузках, а также влияния нейтрального провода на соотношение фазных и линейных трехфазных напряжений и токов приемника. Трехфазная электрическая цепь при соединении приемников звездой.
При соединении фаз обмотки генератора (или трансформатора) звездой их концы X, Y и Z соединяют в одну общую точку N, называемую нейтральной точкой (или нейтралью), а начало фаз выходит к зажимам, обозначаемым соответственно А, В и С (рис. 5.1). Провод, соединяющий нейтральные точки генератора N и приемника n, называется нейтральным, остальные провода – линейными. Напряжения между началом и концом каждой фазы источника или приемника называют фазными. Фазными токами называются токи в обмотках генератора или в сопротивлениях фаз нагрузки. Напряжения между началами фаз называются линейными. Линейными называются и токи в линейных проводах. При соединении звездой линейные токи равны фазным (IЛ = IФ). Линейные напряжения при соединении звездой являются векторной разностью соответствующих фазных напряжений: , , (5.1) Соответствующие векторные диаграммы фазных и линейных напряжений представлены на рис. 5.2, а, б.
Рис. 5.2 Векторы линейных напряжений опережают по фазе, соответственно, векторы фазных напряжений и на угол 30 (рис. 5.2, а). Векторы фазных и линейных напряжений в случае симметричной системы образуют три равнобедренных треугольника с углом 30°. Из этих треугольников можно вывести, что величина каждого из векторов линейных напряжений в раз больше величины вектора фазного напряжения. т. е. . (5.2) Нагрузка считается симметричной, если равны комплексные полные сопротивления фаз Векторная диаграмма, соответствующая случаю симметричной на грузки, представлена на рис. 5.3. Рис. 5.3 Из диаграммы следует, что , т. е. при симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе отсутствует (IN = 0). При несимметричной нагрузке (), благодаря нейтральному проводу, фазные напряжения приемника также образуют симметричную систему. Токи в фазах приемника составляют несимметричную систему. Появляется ток в нейтральном проводе . Величину тока каждой фазы и сдвиг фаз определяют по следующим формулам:
(5.3) Для определения тока в нейтральном проводе строят векторную диаграмму (рис. 5.4, а) и графически определяют вектор тока İN путем геометрического сложения векторов фазных токов , и . Если при несимметричной нагрузке не будет нейтрального провода (при ZN ≠ 0), то фазные напряжения приемника не будут равны соответствующим напряжениям источника. Нейтральная точка n сместится из центра треугольника линейных напряжений N. Между нейтральными точками источника и приемника возникает напряжение UnN, называемое напряжением относительно нейтрали или напряжением между нейтралями (рис. 5.4, б), которое может быть определено из соотношения: (5.4) где – фазные напряжения генератора; – комплексы проводимостей фаз нагрузки и нейтрального провода
Пренебрегая сопротивлениями линейных проводов, получим соотношения между фазными напряжениями генератора и нагрузки: (5.5) Линейные и фазные токи можно определить из следующих соотношений: (5.6) Ток в нейтральном проводе: (5.7) Векторная диаграмма для данного случая представлена на рис. 5.4, б.
|