Нечеткие выводы
А.И Змитррович с. 222 Процесс нечеткого вывода рассмотрим на следующем примере. Суть его можно представить с помощью следующего продукционного правила: ЕСЛИ прибыль клиента большая ТО кредитный рейтинг клиента хороший Нечеткими знаниями здесь являются лингвистические переменные "большая" и "хороший". Предположим, что "большая" прибыль клиента составляет примерно 2 млн. рублей. Нечеткое знание "большая прибыль" можно представить с помощью нечеткого множества, включающего значения прибыли и соответствующей характеристической функции. Например: "большая прибыль"=1,4/0,1+1,6/0,3+1,7/0,7+1,8/0,8+1,9/0,9+2/1+2,2/1. (1) Аналогично, "хороший" рейтинг клиента можно представить числами от 14 до 20. Понятие "хороший" рейтинг клиента с помощью нечеткого множества можно представить следующим образом: "хороший рейтинг"=1,4/0,1+1,6/0,3+1,7/0,7+1,8/0,8+1,9/0,9+2/1+2,2/1.
Представим рассмотренные на рис. 5 операции с помощью характеристической функции (функции принадлежности. Отметим, что нечеткий вывод на рис. 5 выполнен путем применения свертки max для нечеткого вывода и операции взятия min в качестве нечеткой импликации:
В формулах (12)-(13) используются традиционные правила распределения для свертки max-min. Приведенный на рис. 5 метод получения нечеткого вывода представляет собой наиболее распространенный метод нахождения свертки центра масс max-min. Основываясь на приведенных рассуждениях, можно использовать различные варианты (рис. 5). Например, вместо метода центра тяжести можно использовать метод медианы (среднего значения) или метод весов (основанный на переменной y, задающей максимальное значение принадлежности. Вместо отсечения αY∩B, получающего B' по B и α;, – метод применения сжатия αB заключения B по α; и т. п. Метод центра тяжести является наиболее распространенным и используется во всех современных СБИС нечетких выводов. Рассмотрим подробнее операцию нечеткой импликации, лежащую в основе нечеткого отношения A→B. Зафиксировав элементы полного пространства на [0,1], нечеткую импликацию можно рассматривать как функцию двух переменных: [0,1]´[0,1]®[0,1]. (18) В четкой логике операция импликации задается таблицей истинности
В соответствии с формулой эквивалентности x1 ® x2 = Øx1 Ú x2. Если заменить знак отрицания на "вычитание из 1", а знак "Ú" – на max, то эта операция нечеткой логики примет вид: x1 ® x2 = (1 - x1 )Ú x2. (19) Если в случае нечетких выводов попытаться заменить в формуле (11) mR(x,y) = mA®B(x,y) = (1 - mA(x))Ú mB(y), (20) то получим не очень хорошие результаты. На рис. 4.13 (а) представлен график формулы (19), построенный по четырем точкам. По этим же точкам можно построить график на рис. 4.13 (б) и представить его в виде формулы x1 ® x2 = (1 - x1 + x2)Ù1. (21)
Рис. 4.13. Пример нечеткого вывода по правилам Формула (21) представляет собой граничную сумму нечеткого отрицания по типу "вычитание из 1" x1 и x2. В многозначной логике эта формула известна как импликация Лукашевича. Заде использовал эту операцию и предложил нечеткий вывод, сделав в формуле (11) следующую замену: mR(x,y) = mA®B(x,y) = (1 - mA(x) + mB(y))Ù1. (22) На практике эта формула дает хорошие результаты. Также неплохие результаты дает применение формул (11) - (17). В этом случае нечеткая импликация представляет собой операцию взятия минимума x1 ® x2 = x1 Ù x2. (23) Эта формула не поддерживает операцию четкой логики. Так, при x1 = 0 четкая импликация равна 1, а минимум – 0. В случае неустойчивости предпосылки целесообразно рассматривать некую импликацию как операцию взятия минимума, поскольку в противном случае нельзя получить ответ. Для операции импликации предложено несколько формул, но наиболее часто используемой формулой на практике является формула взятия минимума. При реализации нечеткого вывода обычно база знаний включает множество нечетких предикатных правил. Каждое правило может использовать несколько предпосылок и несколько заключений и представляется в виде. ЕСЛИ Аi1,..., АimТО Bi1,..., Bin, (24) где минимальное число предпосылок и заключений находится в диапазоне от 2:1 до 5:2. Число продукционных правил в четких системах достигает нескольких сотен и тысяч. В нечетких информационных системах число нечетких правил на порядок меньше. На рис. 5.11 рассмотрен метод свертки max-min с вычитанием центра тяжести как результат вывода по каждому правилу. Для получения нечеткого вывода на множестве нечетких правил результат вывода получается как логическая сумма результатов по всем правилам или как взятие максимума. При этом имеется возможность параллельной обработки множества правил базы знаний. Пример. Нечеткий вывод с тремя правилами. Пусть имеются следующие три правила: П1: ЕСЛИ A есть R, ТО B есть L, П2: ЕСЛИ A есть C, ТО B есть C, (25) П3: ЕСЛИ A есть L, ТО B есть R. Здесь функции принадлежности R, L и C определяют понятия "правое", "левое" и "центр" соответственно, на нечетком уровне функции приведены на рис. 5.14.
Рис. 5.14 В формулах (25) содержатся правила поведения несговорчивого человека, говорящего: "если правое, то левое" На рис. 5.13 (б) приведены данные наблюдения. Требуется с помощью свертки max-min и вычисления центра тяжести получить ответ. Наблюдаемая информация A' находится "почти справа" – пик А' находится на 0,5 правее нуля, поэтому по правилам "несговорчивого человека" ожидается ответ "немного левее". И на самом деле (рис. 5.14) результат со значением ЦТ расположен немного левее центра. Система использует каждый раз новое значение А' и продуцирует резальтат ЦТ. Такая система требует быстрой обработки правил. В качестве единицы измерения быстродействия используют FLIPS (число нечетких выводов в секунду). Быстродействие зависит от числа правил, числа членов в правилах и плотности полного пространства. В настоящее время говорят о возможности обработки с быстродействием порядка 40 млн. FLIPS. Рассмотренные нечеткие выводы представляют собой восходящие (прямые) выводы от предпосылок к заключению. В последние годы в диагностических нечетких системах начинают применять нисходящие выводы. По существу это метод моделирования с помощью уравнения нечетких отношений.
|
. Пример нечеткого вывода
