Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

 

Для получения уравнения Д. Бернулли используем теорему об изменении кинетической энергии (теорему живых сил), которая связывает изменение кинетической энергии системы точек с работой сил, вызывающих это изменение. (см. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики, т2, стр. 242) В интегральной форме эта теорема формулируется следующим образом: «Приращение кинетической энергии системы материальных точек на конечном перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на этом перемещении»

 

Выделим в элементарной струйке в данный момент времени объем, заключенный между двумя ортогональными к боковой поверхности трубки сечениями и . В смежный момент времени выделенный объем жидкости сместится вдоль трубки тока и займет положение, ограниченное сечениями и .

В установившемся движении новый объем будет отличаться от предыдущего только тем, что к нижней части трубки присоединится элементарный объем, заключенный между сечениями и , а от верхней вычтется такой же объем между сечениями и (рисунок 1)

Рисунок 1 – Схема движения объема в трубке тока

 

Изменение кинетической энергии в рассматриваемом объеме трубки сведется к разности

Массы и вычисляются с использованием уравнения неразрывности

так как , , то

Замечая, что перемещение частиц в сечениях и будут соответственно равны и , составим выражение элементарной работы приложенных к сечениям и сил давления, равных по величине и , в виде

Работа сил давления, приложенных к боковой поверхности трубки тока равна нулю, т.к. перемещения жидкости вдоль боковой поверхности трубки тока перпендикулярны к силам давления.

Работу сил тяжести получим как уменьшение потенциала при перемещении выделенного объема жидкости из начального положения в конечное. При расчете этого уменьшения потенциала примем во внимание, что потенциал общей части начального и конечного положения объемов при этом выпадает и работа сил тяжести будет равна

Приравнивая, согласно теореме об изменении кинетической энергии выражение сумме выражений и , а затем, сокращая обе части полученного равенства на получим

Так как (жидкость не сжимаема), то, поделив на левую и правую части неравенства, получим

т.е. и ст.ж.

, т.е. .

Полученное выражение называют трехчленом Д. Бернулли.