Производная

1. Основные правила нахождения производной

1. 2. 3. 4.

5. 6.

1. Таблица производных основных функций

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11.

12. 13. 14. .

 

1. Найти производные функций

а) ; б) ; в) ; г) .

1. Найти производные функций

а) ; б) ; в) ; г) .

1. Найти производные функций

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

е) ; ж) ; з) ; и) .

1. Найти производные функций

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

е) ; ж) ; з) ; и)

к) ; л) ; м) ; н)

3. Геометрический смысл производной:

Число - это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой .

4. Уравнение касательной к графику функции в точке :

1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .
2. Составить уравнение касательной к графику функции параллельно прямой .
3. Составить уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку .
4. Составить уравнение общей касательной к графикам функций и .
5. Найти производные n -го порядка: а) ; б) ; в) .

 

5. Правило Лопиталя:

.

 

1. Используя правило Лопиталя, найдите пределы

а) ; б) ; в) .

6. Схема отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

1) Найти производную функции .

2) Найти критические точки функции (для этого решить уравнение ). Отобрать из них только те, которые принадлежат указанному отрезку.

3) Найти значение функции в критических точках, отобранных в предыдущем пункте, и на концах отрезка. Выбрать из них наименьшее и наибольшее.

7. Схема отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на интервале:

1) Найти производную функции .

2) Найти критические точки функции (для этого решить уравнение ).

3) Если на интервале функция имеет единственную точку экстремума и это точка максимума, то в ней функция принимает наибольшее значение. Если на интервале функция имеет единственную точку экстремума и это точка минимума, то в ней функция принимает наименьшее значение.

 

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

а) ; б) .

2. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. При заданном периметре Р окна найти такие его размеры, чтобы оно пропускало наибольшее количество света.

8. Формула Тейлора.

1) Формула Тейлора:

2) Формула Маклорена (получается из формулы Тейлора при ):

3) Разложение элементарных функций по формуле Маклорена:

;

;

;

;

;

.

1. Функцию разложить по степеням по формуле Тейлора.
2. Функцию разложить по степеням до члена, содержащего .
3. Функцию представить в виде многочлена третьей степени по х.
4. Используя разложение в ряд Маклорена, вычислить с точностью до 0,001.

Домашнее задание

1. Найти производные функций:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) .

1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке пересечения с осью ординат.
2. Составить уравнение касательной к графику функции перпендикулярно прямой .
3. Найти производные n -го порядка: а) ; б) ; в) .
4. Используя правило Лопиталя, найдите пределы:

а) ; б) ; в) .

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

а) ; б) .

1. Требуется выделить прямоугольную площадку земли в 512 м², огородить ее забором и разделить загородкой на три равные части параллельно одной из сторон площадки. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы на постройку заборов пошло наименьшее количество материала?
2. Функцию разложить по степеням по формуле Тейлора.
3. Функцию разложить по формуле Маклорена до члена включительно.
4. Используя разложение в ряд Маклорена, вычислить с точностью до 0,001.

 

9. Дифференциал функции:

1) - приращение функции.

2) или - дифференциал функции.

3) - применение дифференциала в приближенных вычислениях.

4) - дифференциалы высших порядков.

1. Найти приращение и дифференциал функции:

а) при ; б) при .

2. Вычислить приближенно

а) ; б) ; в) .

3. . Найти .

4. . Найти .