Решение расчетной задачи

Расчетная задача

1. Рассчитать значения и построить график функции ω(t) – параметр потока замен машин при случайном списании по достижении машиной предельного состояния и мгновенной замене ее на новую.

Расчет функции ω(t) выполнить для значения t = 1,2,3...,t_i, где для t_i выполняется условие

/ω)(t_i) - ω(t_i-1)/<0,01 и / ω(t_i) - ω_П, (1)

где ω_П — предельное значение функции ω(t) при увеличении времени t.

В расчетах использовать предположение о нормальном распределении срока службы машин с заданными значениями параметров μ (математическое ожидание) и σ (среднеквадратичное отклонение). Значение параметров μ = 3,9; σ = 0,9.

2. Для парка, в котором имеется N машин

а) рассчитать точное значение математического ожидания, т.е. среднего числа машин, необходимых для замены за 6,5 лет работы от начала существования парка машин;

б) определить приближенное значение математического ожидания числа машин, необходимых для замены за период времени работы парка от а₁ =7 до b₁ = 12, используя линейную аппроксимацию функции ω(t) по рассчитанным значениям;

в) определить приближенное значение математического ожидания числа машин, необходимых для замены в установившемся режиме работы парка за период времени от а₂=20 до b₂=30 и оценить максимальную погрешностьэтого значения.

Значения числа машин в парке N= 38 единиц.

Решение расчетной задачи

2.Расчет значений функции параметр потока замен

Для расчета значений функции параметр потока замен ω(t) используем следующие формулы:

(2)

где ω_П – предельное значение функции ω(t).

 

(3)

 

где (4)

 

(5)

 

ω_П=0,256; с=0,443

Результаты представлены в таблице 1.

Таблица 1

t	i	gi(t)	Σgi(t)	w(t)
		0,00556445	0,00556445
		4,4813E-07
		3,3923E-11
		1,9963E-19
		1,9963E-19
		1,5561E-23
		1,2229E-27
			0,00556445	0,002
		0,10770115	0,10770115
		2,1894E-05
		2,2566E-09
		2,0082E-13
		1,6999E-17
		1,4094E-21
		1,1576E-25
			0,10770115	0,048
		0,60653066	0,60653066
		0,00057699
		9,9473E-08
		1,1449E-11
		1,1308E-15
		1,0392E-19
		9,1858E-24
			0,60653066	0,269
		0,99384617	0,99384617
		0,00820211	0,00820211
		2,9055E-06
		4,7936E-10
		5,8766E-14
		6,2369E-18
		6,1106E-22
			1,00204828	0,444
		0,47382673	0,47382673
		0,06289261	0,06289261
		5,6237E-05
		1,4741E-08
		2,3857E-12
		3,0471E-16
		3,4076E-20
			0,53671933	0,238
		0,06572853	0,06572853
		0,26013005	0,26013005
		0,00072127
		3,3292E-07
		7,5664E-11
		1,2119E-14
		1,593E-18
			0,32585858	0,144
		0,00265291	0,00265291
		0,58036129	0,58036129
		0,00612992	0,00612992
		5,5222E-06
		1,8747E-09
		3,9233E-13
		6,2432E-17
			0,58914412	0,261
		3,1155E-05
		0,69843073	0,69843073
		0,03452131	0,03452131
		6,7275E-05
		3,6284E-08
		1,0339E-11
		2,0511E-15
			0,73295204	0,325
		1,0645E-07
		0,453383	0,453383
		0,12882426	0,12882426
		0,00060193
		5,4864E-07
		2,2181E-10
		5,6491E-14
			0,58220726	0,258
		1,0584E-10
		0,15875379	0,15875379
		0,31855621	0,31855621
		0,00395548	0,00395548
		6,4806E-06
		3,8734E-09
		1,3043E-12
			0,48126548	0,213
		3,0615E-14
		0,02998472	0,02998472
		0,52197834	0,52197834
		0,01909022	0,01909022
		5,9802E-05
		5,5062E-08
		2,5245E-11
			0,57105327	0,253
		2,5768E-18
		0,00305487	0,00305487
		0,56675699	0,56675699
		0,06766764	0,06766764
		0,0004311
		6,3716E-07
		4,0961E-10
			0,6374795	0,282
		6,3102E-23
		0,00016788
		0,40777376	0,40777376
		0,17616098	0,17616098
		0,0024278	0,0024278
		6,0018E-06
		5,5716E-09
			0,58636254	0,26

На рисунке 1 представлен график функции ω(t). Точками показаны рассчитанные значения функции от 1 до 13 с шагом h 1.

3. Расчет среднего числа машин, необходимых для замены в парке за заданное время.

Проведем расчет среднего числа машин, необходимых для замены в парке из N машин за время t=6,5 лет. Для этого используем следующие формулы:

 

(6)

 

где

(7) H(t) = NΩ(t),

где H(t) –среднее число замен всего парка.

Резултаты расчета представлены в таблице 2.

Таблица 2

i	iµ
	3,9	0,9	2,889	0,998
	7,8	1,273	-1,021	0,159
	11,7	1,559	-3,335	0,001

 

Ω(t)=∑Ф(z_i)=1,158

 

При N=38 за это время в парке потребуется в среднем машин для замены

Н(0,6,5)=38*1,158=44 единицы.

 

4. Расчет приближенного среднего значения числа замен машин в парке с использованием линейной аппроксимации параметра потока замен.

Рассчитаем приближенное значение математического ожидания числа замен машин в парке.

Численное интегрирование функции проведем с помощью формулы:

 

(8)

 

Ω(7,12)= 1 {0,5 [w(7)+w(12)]+w(8)+w(9)+w(10)+w(11)}= =0,5(0,261+0,282) + +0,325 +0,258+0,213+0,253=1,321

При числе машин в парке N=38 для замен потребуется в среднем машин:

Н(7,12)=38х 1,321=50 единиц

5. Вычисление среднего числа замен машин в парке при больших значениях времени.

Вычислим приближенное значение математического ожидания числа замен машин в парке при больших значениях времени t в установившемся режиме, когда можно считать значение функции ω(t) постоянным и равным ω_п.

При заданных нижней границе интервала а₂=20 и верхней границе b₂ = 30 погрешности при замене значений функции ω(t) и установившемся значением ω_п будут меньше 0,01

Среднее число замен получим по формуле:

 

(9)

 

Ω(20,30)=0,256х(30-20)=2,56

Среднее число замен машин в парке

Н(6,13)=38x2,56=97 единиц