Аналіз топології схеми.

Розрахунок електричного кола методом контурних струмів.

Поглянемо на задану схему електричного кола (Рис. 1) та визначимо умови задачі. Дане електричне коло складається з двох джерел напруги та п’яти опорів. Позначимо джерела напруги як Е1 та Е2 відповідно та опори як R1, R2, R3, R4, R5, та визначимо їх величини (згідно з заданими умовами задачи).

Е1=1 V

Е2=-3 V

R1=R2=R3=R4=R5=1 kOm

Для зменшення кількості невідомих у рівняннях струмів (5 невідомих) шукається рішення для умовних контурних струмів, які в сукупності об'єднують всі елементи схеми. У цьому випадку виходить 3 рівняння замість 5.

Аналіз топології схеми.

Позначимо вузли схеми. Схема містить три вузли A, B, C і п'ять гілок. Вузол C умовно розділений на два вузли C ' і C ", але електрично це один вузол.

Позначимо внутрішні контури для контурних струмів (сині лінії), так щоб ці контури включали всі елементи схеми.

Тут виділено три контури: "I"- E 1, R 1, R 2; "II"- R 2, R 3, R 4; "III"- R 4, R 5, E 2.

Позначимо умовні напрямки контурних струмів (сині стрілки) I I, I II, I III.

Будемо використовувати напрямки контурних струмів як напрямки обходу контурів для розрахунків спадання напруги U n на елементах і визначення знаків ЕРС.

Позначимо умовні напрямки струмів I n у гілках схеми (червоні стрілки).

Виразимо струми гілок I n і падіння напруг U n= I n· R n через контурні струми. Будем при цьому враховуємо взаємні напрямки струмів.

I1 = II;	U1 = II·R1;
I2 = II - III;	U2 = (II - III)·R1;
I3 = III;	U3 = III·R3;
I4 = III - IIII;	U4 = (III - IIII)·R4;
I5 = IIII;	U5 = IIII·R5;

Для контурних струмів автоматично виконуються рівняння Кірхгофа для струмів у вузлах схеми. Сума струмів, що втікають у вузол, дорівнює сумі струмів, що витікають із вузла (ліворуч, що втікають струми, що праворуч витікають):

Вузол A	:	I1=I2+I3	;	II = (II - III) + III = II;
Вузол B	:	I3=I4+I5	;	III = (III - IIII) + IIII = III;

Складемо рівняння для падінь напруг U n на резисторах R n і ЕРС E 1, E 2. Сума падінь напруг на елементах схеми дорівнює сумі ЕРС уздовж замкнутого контуру. Спад напруги U n= I n· R n будем позначати зі знаком "+", якщо напрямок струму збігається з напрямком обходу, і зі знаком "-", якщо не збігається. Аналогічно зі знаком ЭРС - "+", якщо напрямок ЭРС збігається з напрямком обходу, і "-", якщо не збігається.

Контур "I"	:	E1 = U1 + U2	;	E1 = II·R1 + (II-III)·R2
Контур "II"	:	0 = -U2 + U3 + U4	;	0 = -(II-III)·R2 + III·R3 + (III-IIII)·R4
Контур "III"	:	-E2 = -U4 + U5	;	-E2=-(III-IIII)·R4 + IIII·R5

Перегрупуємо члени рівнянь:

II·(R1+R2) - III·R2 = E1

-II·R2 + III·(R2+R3+R4) - IIII·R4 = 0

-III·R4 + IIII(·R4+R5) = -E2

і поміняємо знаки 2-го й 3-го рівняння:

II·(R1+R2) - III·R2 = E1

II·R2 - III·(R2+R3+R4) + IIII·R4 = 0

III·R4 - IIII(·R4+R5) = E2

Підставимо дані у рівняння і отримаємо:

2I I - I II =1

I I -3 I II + I III =0

I II -2 I III =-3

Виражаємо I Iта I III

I I =(1+ I II)/2

I III =(3+ I II)/2

Отримаємо 0= (1+ I II)/2 -3 I II +(3+ I II)/2

0=1+ I II -6 I II + I II +3

4 I II =4

I II =1, звідси I III =2, I I =1

Повертаємось до заміни

I1= I I =1 mA

I3= I II =1 mA

I5= I III =2 mA

Використовуючи закон Кірхгофа отримаємо, що I2=0 mA a I4= -1 mA

По закону Ома: U=IR, підраховуємо напруги

U1=I1R1=1 V

U2=I2R2=0 V

U3=I3R3=1 V

U4=I4R4=-1 V

U5=I5R5=2 V