ГЛАВА V. Устойчивость
Лекция 14 Дифференциальное уравнение или система, описывающие какой-либо физический процесс, обычно таковы, что участвующие в них функции, а также числовые коэффициенты и начальные условия задаются приближённо, с какой-либо степенью точности. Если решение уравнения меняется сильно при незначительном изменении этих данных, то такое решение неустойчиво и появляются серьёзные сомнения в том, что эти функции действительно описывают данный процесс. Естественным требованием поэтому является устойчивость решений. Из различных понятий устойчивости мы выберем наиболее употребительное – устойчивость по Ляпунову. Пусть
– система дифференциальных уравнений, записанная в векторной форме (здесь
для всех
Дадим геометрическую интерпретацию этому определению.
Рис.1. На рис.1. приведен график i -ой компоненты невозмущенного решения Если же для заданного Если решение
при условии Если частное решение системы
то есть, если все Исследование устойчивости данного решения Тем самым задача сводится к устойчивости точки покоя Не вводя новых обозначений, считаем, что исследуемой на устойчивость функцией будет вектор-функция Формулировка устойчивости по Ляпунову для тривиального нулевого решения принимает вид: Точка покоя системы устойчива по Ляпунову, если Рассмотрим простейшие точки покоя при
Для этого исследуем общее решение системы. Характеристическое уравнение имеет вид
или сокращенно Рассмотрим частные случаи. 1. Корни характеристического уравнения (3) – действительные различные числа Поиск общего решения производится в форме
Коэффициенты
При этом возможны следующие варианты. 1а) Если
Рис.2. 1б)
Рис.3. 1в) Если корни характеристического уравнения разных знаков (пусть
Рис.4. 2. Корни характеристического уравнения комплексные: Общее решение системы имеет вид
где Рассмотрим частные случаи. 2а)
Рис.5. 2б)
Рис.6. 2в) Корни чисто мнимые:
Это граничная ситуация между рассмотренными случаями 2а) и 2б). Интегральные кривые являются подобными эллипсами, в общем случае вложенными друг в друга замкнутыми кривыми. Точка покоя называется центром. Это устойчивая точка покоя, так как 3. Если корни кратные и действительные: 3а)
Это асимптотически устойчивый узел (рис.7).
Рис.7. Данный узел занимает промежуточное положение между узлом вида 1а) и устойчивом фокусом, когда появляется мнимая составляющая. 3б)
Рис.8. 4. Если
Если из двух уравнений
4а) Если
Рис.9. 4б) Если
Рис.10. Классификация точек покоя при Например, пусть при решении кубического характеристического уравнения один из корней отрицателен и два других комплексно сопряжены с отрицательной действительной частью. Тогда интегральные кривые в окрестности точка покоя носят характер винтообразной спирали, направленной к точке покоя. Устойчивость нулевого решения неоднородной системы
|
(1)
неизвестная вектор-функция). Рассматриваются решения этой системы, удовлетворяющие начальному условию 
и определённые на полуоси 
Решение 
называется устойчивым по Ляпунову, если для любого 
найдется такое 
, что для всякого решения 
, начальные условия которого удовлетворяют неравенствам
, то справедливы неравенства
.
. В окрестности этой компоненты построен «коридор» шириной 
. Тогда для любого фиксированного значения 
найдется такое 
, зависящее от 
, что как только начальные условия компоненты возмущенного решения 
окажутся внутри отрезка 
, график компоненты 
, то решение 
называется неустойчивым.
. (2)
, то решение называется асимптотически устойчивым.
,
равны нулю, то такое решение называется точкой покоя.
ввести вектор 
.
.
.
что из неравенства 
следует 
для всех 
.
для линейных систем 
с 
:
(3)
где 
след матрицы 
, а 
где 
и 
с точностью до постоянного множителя определяются из однородной системы уравнений
то точка покоя 
асимптотически устойчива. Устойчивость следует из того, что в какой бы 
интегральная кривая остается внутри куба 
так как 
монотонно стремится к нулю. Поэтому 
Точка покоя в этом случае называется устойчивым узлом (см.рис.2).
. Точка покоя здесь называется неустойчивым узлом. Форма интегральных кривых такая же, как в предыдущем случае, но стрелки направлены противоположно. Из любого куба со стороны 
), то точка покоя называется седлом. Это неустойчивая точка покоя. Только по одной прямой, когда 
а 
и 
отличны от нуля, движение по интегральной прямой с увеличением 
- некоторые действительные числа.
. Общий множитель в формуле 
стремится к нулю, а 
и 
остаются ограниченными. Интегральные линии асимптотически приближаются к нулю при 
. Точка покоя называется устойчивым фокусом.
. Кривые имеют тот же вид, что и в случае 2а), однако с увеличением 
. Общее решение имеет вид
можно найти квадрат 
такой, что все интегральные кривые будут целиком содержаться в квадрате 
. Но это не асимптотическая точка покоя, так как никакого стремления к нулю при 
, то частные случаи будут следующие.
. Как и в предыдущем случае - узел, но неустойчивый. Движение происходит в направлении от точки покоя. Все интегральные кривые касаются в точке покоя (рис.8).
то общее решение имеет вид 
.
и 
исключить 
то получим семейство параллельных прямых:
.
имеем устойчивую неасимптотическую точку покоя.
неустойчивая точка покоя.
носит более сложный характер.
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами дается следующей теоремой.
