А. Простой и сложный процент

Пусть некто внес в банк сегодня 100 руб. под 50% годовых. Очевидно, что через год1 на счете будет сумма вклада плюс процент на нее. Последний исчисляется умножением процентной ставки на величину вклада (100*0,5). Итого получаем:

100+0,5*100=100(1+0,5)=150

Решим задачу в общем виде, обозначив начальную сумму вклада - K₀, процентную ставку - i и сумму через год - K₁. Тогда имеем:

K₁=K₀+iK₀=K₀(1+i)

Если начиная со второго года банк начисляет процент только на первоначально вложенную сумму, то такой процент называется простым. В этом случае, вложив 100 руб. под 50% годовых, мы через два года получаем на счете 200 руб. Расчет таков:

100+0,5*100+0,5*100=100(1+2*0,5)=200

Обозначив сумму, которая будет на счете через два года – K₂, получаем в общем виде:

K₂=K₀+iK₀+iK₀=K₀(1+2i). Следовательно, через n лет имеем на счете:

K_n=K₀(1+ni)

Если, начиная со второго года, банк начисляет процент на всю накопленную ранее сумму, то такой процент называется сложным. Вернемся к нашему условному примеру с вложением 100 руб. под 50% годовых. Как уже было установлено, мы имеем на счете через год: K₁=100(1+0,5)=150. В следующем году процент начисляется уже на 150 руб. Следовательно, через два года на счете будет:

K₂=150(1+0,5)=100(1+0,5)(1+0,5)=100(1+0,5)²=225

В общем виде получаем: K₂=K₀(1+i)². Таким образом, через n лет сумма на счете (K_n) будет:

K_n=K₀(1+i)ⁿ

Усложним модель. До этого предполагалось, что деньги вносятся на счет один единственный раз. Теперь допустим, что некто ежегодно вносит в банк одну и ту же сумму (K руб.) под i% годовых (начисляется сложный процент).

В качестве примера предположим, что Вы решили копить деньги к отпуску, для чего первого числа каждого месяца вкладываете в банк K руб. Банк платит по вкладам i% в месяц. Первый взнос сделан 1 сентября, второй – 1 октября и т.д. вплоть до 1 июля, когда Вы больше ничего не вкладываете, а снимаете деньги со счета и уезжаете отдыхать. Итак, подсчитаем:

Первого сентября на счет положено K руб.:

Дата	Сумма на счете
1 сентября	K

Первого октября эта сумма превратится в K(1+i), но Вы докладываете еще K руб., и всего на счете оказывается K(1+i)+K руб.:

Дата	Сумма на счете
1 сентября	K
1 октября	K(1+i)+K

К первому ноября сентябрьские деньги пролежали на счете два месяца, превратившись в K(1+i)², октябрьские K руб., будучи на счете один месяц, превратились в K(1+i), кроме того K руб. вносятся дополнительно. Всего, таким образом, Вы имеете на счете K(1+i)²+K(1+i)+K руб.:

Дата	Сумма на счете
1 сентября	K
1 октября	K(1+i)+K
1 ноября	K(1+i)2+K(1+i)+K

Декабрь, январь и т.д. пропустим. Наступает 1 июля. К этому времени сентябрьские деньги пробыли на счете 10 месяцев и превратились в K(1+i)¹⁰, соответственно деньги, внесенные 1 октября, стали K(1+i)⁹. И т.д. Последний раз K руб. были вложены 1 июня, т.е. превратились в K(1+i) руб. Поэтому Вы закрываете счет, имея K(1+i)¹⁰+K(1+i)⁹+…+K(1+i) руб.:

Дата	Сумма на счете
1 сентября	K
1 октября	K(1+i)+K
1 ноября	K(1+i)2+K(1+i)+K
…	…
1 июля	K(1+i)10+ K(1+i)9+…+K(1+i)

Рассмотренный пример – частный случай. Если же подобная операция продолжается n лет (временных периодов), то в конце срока сумма на счете (K_n) будет:

K_n=K(1+i)+K(1+i)²+...+K(1+i)ⁿ

Перед нами геометрическая прогрессия, сумма членов которой (S_n) исчисляется по формуле:

где b - первый член прогрессии [в нашем примере: K(1+i)], q - знаменатель (общий множитель) прогрессии (у нас: 1+i), а n - число членов прогрессии.

Следовательно, в нашем случае:

Все приведенные расчеты называются нахождением будущей стоимости (FV). Следовательно: K_n=FV_n.