Решение. Конечно же, для нахождения асимптот здесь мы не будем использовать выведенные ранее формулы, и, тем более

1) а) .

Конечно же, для нахождения асимптот здесь мы не будем использовать выведенные ранее формулы, и, тем более, приводить к общему знаменателю.

По определению наклонной асимптоты - (двусторонняя) наклонная

асимптота (т.к. - б.м. при );

. На функция непрерывна как рациональная, так

что - все вертикальные асимптоты.

Ответ. , .

 

б) .

- ограниченная функция, следовательно, искать вертикальные

асимптоты бесполезно.

.

- (двусторонняя) горизонтальная асимптота.

Ответ. .

в) .

; - (двусторонняя) вертикальная

асимптота, т.к. .

; .

- правосторонняя горизонтальная асимптота;

- левосторонняя горизонтальная асимптота.

Ответ. - (двусторонняя) вертикальная асимптота, - правосторонняя горизонтальная асимптота; - левосторонняя горизонтальная асимптота.

г) .

. ; - (двусторонняя)

вертикальная асимптота.

;

делаем вывод: наклонных асимптот нет.

Ответ. .

 

д) .

. .

- левосторонняя вертикальная асимптота. . Горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты. .

.

- (двусторонняя) наклонная асимптота.

Приведем одно неверное рассуждение, подсказанное «здравым смыслом»:

(Казалось бы), у графика должна быть асимптота , т.к. при

, т.е. близко к .

Ответ. - левосторонняя вертикальная асимптота. - (двусторонняя) наклонная асимптота.

2) Оформим (возможный) порядок выполнения этого задания:

1. Находим область определения функции.

2. Расставляем знаки функции на числовой прямой.

3. Находим асимптоты.

4. Отмечаем корни функции на координатной плоскости(или точки пересечения с осями).

5. Рисуем «хвостики» графика при подходе к вертикальным асимптотам. («Хвостик» вверху или внизу? Смотрим по картинке со знаками функции.)

6. Учитывая все уже изображенное к этому моменту, заканчиваем чертеж.

Замечание. Конечно, проведенные исследования (без применения производной) дают возможность построить только очень приблизительный вариант эскиза графика!

а) . 1. ;

2.

 

3. - вертикальная асимптота; .

; - наклонная асимптота.

 

б) . 1. ;

2.

 

3. - вертикальные асимптоты.

; - горизонтальная асимптота.

 

 

 

в) . 1. .

2. при при

3. .

- левосторонняя горизонтальная асимптота; - правосторонняя горизонтальная асимптота.

 

 

 

 

 

г) . 1. .

2. .

3. ; - (двусторонняя) вертикальная асимптота.

; горизонтальных асимптот нет.

; наклонных асимптот нет (, наклонная асимптота «вырождается» в горизонтальную, а горизонтальных асимптот нет).

Для построения эскиза графика здесь необходимо знать поведение функции в окрестности 0 (тип точки разрыва): (выделенная часть вычислений необязательна: и ранее видно, что предел имеет вид ).

 

 

д) . 1. .

2. при при

3. См. выше:

. . - левосторонняя вертикальная асимптота.

- (двусторонняя) наклонная асимптота.

 

 

 

 

 

 

е) .

1. .

2. .

3. непрерывна на . Точки разрыва: . (Как это ни странно звучит, точки разрыва – точки, не входящие в область определения функции!)

Предварительно вычислим пределы показателя в точках разрыва и на бесконечности, а затем воспользуемся теоремой о пределе композиции функций.

Знаки показателя :

 

 

; ; ; ; .

; ; ;

; .

- правосторонние вертикальные асимптоты; - (двусторонняя) горизонтальная асимптота.

 

 

Задания для самостоятельного решения.

1) Может ли график функции пересекать свою: а) вертикальную; б) горизонтальную;

наклонную асимптоту?

2) Может ли график функции иметь: а) 2 вертикальные и 3 горизонтальные асимптоты?

б) 3 вертикальные и 2 горизонтальные асимптоты?

в) 1 наклонную и 5 вертикальных асимптот?

г) 2 горизонтальные и 1 наклонную асимптоту?

д) ровно 315 асимптот?

е) бесконечно много асимптот?

3) Верно ли, что рациональная функция имеет наклонную асимптоту тогда и только тогда, когда степень числителя на 1 больше степени знаменателя?

4) Верно ли, что рациональная функция не может иметь более 1 наклонной (горизонтальной) асимптоты?

5) Приведите пример формулы, задающей функцию, график которой имеет две различные горизонтальные или наклонные асимптоты.

6) Приведите пример формулы, задающей функцию, график которой имеет любую одностороннюю асимптоту.

7) Приведите пример функции, у которой есть асимптота: а) ; б) ; в) .

8) Приведите пример функции, полный набор прямолинейных асимптот которой состоит из прямых: а) б)

в) ; г) .

 

 

1) Найдите полный набор асимптот графика функции:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) (в) ; з) (в) .

 

2) Найдите область определения, промежутки знакопостоянства и полный набор асимптот, постройте эскиз графика функции:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) е) ; ж) ;

з) ; и) ; к) ; л) ;

м) ; н) ; о) .

 

3) Является ли функция непрерывной на R? Есть ли у ее графика асимптоты? Ответ обоснуйте.

 

Ответы к заданиям для самостоятельного решения.

1) Нет; да; да.

2) а) Нет. б) Да. в) Да. г) Нет. д) Да. е) Да.

3) Да.

4) Да.

5) Например, , или ,...

6) Например, , или ,...

7) Например: а) ,... б) ,... в) ,...

8) Например: а) ,... б) ,...

в) ,... г) ,...

1) а) б) в)

г) . д) . е) . ж) .

з) - правосторонняя вертикальная асимптота; - левосторонняя

вертикальная асимптота; .

2)

а)

Ас.:

		-2 -1 1

 

 

б)

 

Ас.: .

 

в)

 

-5 0 1

Ас.:

 

г)

Ас.:

 

 

д)

Ас.:

 

е)

Ас.:

		-4 -1 0 1 4

 

 

ж) при ; асимптоты: правосторонняя наклонная ;

левосторонняя наклонная .

 

з) ; . Ас.: . .

		-1 0 1

 

и)

Ас.: вертикальная

правосторонняя горизонтальная

левосторонняя горизонтальная

 

 

 

 

к)

Ас.: .

		-1 0 1

 

 

л)

 

 

Ас.: - правосторонние вертикальные; - левосторонняя вертикальная.

 

 

м) ; - точка разрыва 2-го рода (односторонних пределов нет);

- горизонтальная асимптота.

 

 

Полностью изобразить график

невозможно, т.к. кривая асциллирует,

т.е. график «гуляет в коридоре

между и », все чаще

меняя направление при приближении к 0.

 

н) ; при ; .

Асимптот нет.

 

о) - вертикальная асимптота;

- левосторонняя горизонтальная асимптота.

 

3) непрерывна на ; - точка разрыва 1-го рода.

- левосторонняя наклонная асимптота; - правосторонняя горизонтальная асимптота.